From ec0debdc1327a054c3448a5e0ef0f03db2af84db Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?utf8?q?Michal=20Mal=C3=BD?= Date: Tue, 19 Nov 2019 14:51:48 +0100 Subject: [PATCH] =?utf8?q?M=C3=ADrn=C3=A9=20usnadn=C4=9Bn=C3=AD=20mo=C5=BE?= =?utf8?q?nosti=20pou=C5=BE=C3=ADt=C3=AD=20LuaLaTeXu?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=utf8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- tzach_problems_solved.tex | 260 ++++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 126 insertions(+), 134 deletions(-) diff --git a/tzach_problems_solved.tex b/tzach_problems_solved.tex index 6322faa..f5a0b22 100644 --- a/tzach_problems_solved.tex +++ b/tzach_problems_solved.tex @@ -14,14 +14,14 @@ \usepackage{lastpage} \usepackage{marvosym} \usepackage{mathtools} -\usepackage{mathspec} \usepackage{placeins} +\usepackage{mathspec} +\usepackage{fontspec} \usepackage{polyglossia} \usepackage{siunitx} \usepackage{cancel} \usepackage{textcomp} \usepackage{xevlna} -\usepackage{xltxtra} \usepackage{wasysym} \usepackage{xcolor} @@ -40,12 +40,9 @@ \setmainlanguage{czech} \PolyglossiaSetup{czech}{indentfirst=true} -\setromanfont[Mapping=tex-text]{Minion Pro} +\defaultfontfeatures{Ligatures={TeX}} \setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Minion Pro} -\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201C}{\grqq} -\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201E}{\glqq} - \newcommand{\ilm}[1]{\(\mathrm{#1}\)} \newcommand{\rmm}[1]{\[\mathrm{#1}\]} \newcommand{\mpdm}{\mol\per\cubic\deci\metre} @@ -55,8 +52,8 @@ \newcommand{\rdcol}[2]{\multicolumn{1}{#1}{#2}} \newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textminus}}\circ}} \newcommand{\infloattext}[1]{\parbox{\linewidth}{\vspace*{\baselineskip}#1}} -\newcommand{\uv}[1]{\glqq{#1}\grqq} -\newcommand{\FloatJail}[3]{ +\newcommand{\uv}[1]{„{#1}“} +\newcommand{\FloatJail}[3]{% \vspace{\baselineskip} \begin{minipage}{0.90\textwidth} % Do not add a caption if no float type is given @@ -77,7 +74,7 @@ \end{minipage} \vspace{\baselineskip} } -\newcommand{\Rmnum}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@} +\newcommand{\Rmnum}[1]{\MakeUppercase{\romannumeral#1}} \definecolor{redorange}{rgb}{1,0.2,0} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0.1,0.5,0.2} \definecolor{skyblue}{rgb}{0.0,0.1,0.5} @@ -99,7 +96,7 @@ \section{Intro} \paragraph{} - Tento stručný dokument o pouhých \pageref{LastPage} stránkách obsahuje vyřešené příklady, jejichž zadání je k dispozici zde (\url{http://web.natur.cuni.cz/~nesmerak/index.html}). Řešení, postupy, odvození a výsledky jsou neoficiální, neverifikované a možná ne vždycky korektní. Příklady nejsou vyřešeny úplně všechny, ale jen ty, kde se řešitel dozví něco nového a které by se mohly objevit v zápočtovém testu. + Tento stručný dokument o pouhých~\pageref{LastPage} stránkách obsahuje vyřešené příklady, jejichž zadání je k dispozici zde (\url{http://web.natur.cuni.cz/~nesmerak/index.html}). Řešení, postupy, odvození a výsledky jsou neoficiální, neverifikované a možná ne vždycky korektní. Příklady nejsou vyřešeny úplně všechny, ale jen ty, kde se řešitel dozví něco nového a které by se mohly objevit v zápočtovém testu. \paragraph{} Je pravděpodobné, že dokument bude postupně doplňován, opravován a aktualizován. Odkaz ke stažení nejaktuálnější verze najdete \hyperref[intro:info]{zde}. Jakékoliv připomínky, dotazy nebo řešení příkladů, které zde nejsou můžete spamovat na uvedený e-mail. @@ -109,27 +106,26 @@ \begin{center} \begin{tabular}{l>{=}cr} \ilm{\left(x^n\right)^m} && \ilm{x^{m \cdot n}} \\ - \ilm{\log 10^a + \log 10^b} && \ilm{a + b} \\ + \ilm{\log{10^a} + \log{10^b}} && \ilm{a + b} \\ \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{[H_3O^+][OH^-]} \\ \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_A \cdot K_B} \\ - \ilm{a \cdot \left( \ln X \right)} && \ilm{\ln \left(X\right)^a} + \ilm{a \cdot \left(\ln{X} \right)} && \ilm{\ln{\left(X\right)^a}} \end{tabular} \end{center} \indent tak ne, že se tím necháte zaskočit. \paragraph{} - Příjemnou zábavu... + Příjemnou zábavu\ldots - \begin{center} - \label{intro:info} + \begin{center}\label{intro:info} \begin{tabular}{b{3cm}>{\raggedleft\arraybackslash}p{11cm}} \textbf{Verze} & 1.5.1 (\today) \\ \textbf{E-mail} & \href{mailto:madcatxster@devoid-pointer.net}{madcatxster@devoid-pointer.net} \\ \textbf{Download} & \url{http://devoid-pointer.net/tzach/tzach_problems_solved.pdf} \\ - \textbf{\XeLaTeX ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\ - \textbf{Poznámky} & Některé PDF prohlížeče (např. integrovaný prohlížeč Firefoxu) nezobrazují matematické výrazy správně. \\ + \textbf{\LaTeX{} ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\ + \textbf{Poznámky} & Některé PDF prohlížeče (např.\ integrovaný prohlížeč Firefoxu) nezobrazují matematické výrazy správně. \\ \multicolumn{2}{l}{\textbf{Changelog}} \\ - \multicolumn{2}{l}{ + \multicolumn{2}{l}{% \begin{tabular*}{\linewidth}{l>{-}cp{11cm}} 1.5.1 && Drobné korekce formátování \\ 1.5.0 && Příklad na výpočet pH roztoku fenolu nebyl vyřešen správně \\ @@ -141,7 +137,7 @@ && Opraveno chybně dosazené [OH\textsuperscript*{-}] v příkladu~\ref{prec:ks_buffer_ph} \\ && Opraven prohozený čitatel s jmenovatelem ve výpočtu kontroly autoprotolýzy v příkladu~\ref{bonus:c_1} \\ && Upraveno zadání a vysvětlení příkladu~\ref{bonus:b_3}, aby to dávalo aspoň nějaký smysl \\ - 1.3.1 && V testu ze 14. 1. 2015, příkladu 5. chyběla jednotka u koncentrace ligandu \\ + 1.3.1 && V testu ze 14.\ 1.\ 2015, příkladu 5.\ chyběla jednotka u koncentrace ligandu \\ && Nesmyslně uvedeno, že \ilm{K_W = K_A \cdot K_A} \\ && Přidán komentář k testu z 14. 3. 2014, příkladu 3. \\ 1.3.0 && Přidáno zadání testu z 14. 1. 2015 \\ @@ -166,17 +162,17 @@ \paragraph{Výpočet} Pro výpočet je nutné znát definici pH - \FloatJail{theorem}{Definice pH}{ - \rmm{ pH = -\log a_{H_3O^+} } - \infloattext{ + \FloatJail{theorem}{Definice pH}{% + \rmm{pH = -\log{a_{H_3O^+}}} + \infloattext{% \centering Velmi často se užívá zjednodušené definice } - \rmm{ pH = -\log [H_3O^+] } + \rmm{pH = -\log{[H_3O^+]}} } - Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny. + \noindent Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny. - \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{ + \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{% \begin{align*} pH &= -\log [H_3O^+] \\ pH &= -\log c_{HNO_3} \\ @@ -185,9 +181,9 @@ \end{align*} } - Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto + \noindent Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto - \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{ + \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{% \begin{align*} I &= \frac{1}{2} \sum\limits^n_{i=1} c_i z_i^2 \\ I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_3O^+} z_{H_3O^+}^2 + c_{NO_3^-} + z_{NO_3^-}^2\right) \\ @@ -197,7 +193,7 @@ \end{align*} } - \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{ + \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{% \begin{align*} \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{H_3O^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \num{3,162e-2}}{\num{1,032}} \\ @@ -208,7 +204,7 @@ \end{align*} } - \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{ + \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{% \begin{align*} pH &= -\log \left([H_3O^+] \cdot \gamma_{H_3O^+}\right) \\ pH &= -\log \left(\num{1,0e-3} \cdot \num{0,964}\right) \\ @@ -216,8 +212,7 @@ \end{align*} } - \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice - kyselina octová} - \label{ph:weak_acid} + \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice-kyselina octová}\label{ph:weak_acid} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \SI{1,0e-2}{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} @@ -227,45 +222,45 @@ \paragraph{Výpočet} Z rovnice disociace kyseliny sestavíme vztah pro disociační konstantu. Vhodnou úpravou tohoho vztahu získáme vztah mezi disociační konstantou slabé kyseliny a pH jejího roztoku. - \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{ + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{% \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- } } - \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{ + \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{% \rmm{ K_A = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} } Zjednodušeně pomocí koncentrací \rmm{ K_A = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} } } - \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{ - \infloattext{ + \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{% + \infloattext{% \centering \textbf{Zjednodušující předpoklady}\\ Z rovnice disociace je patrné, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} \\ Dále můžeme uvažovat, že \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} } \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{[HA]}{[A^-]} } - \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } + \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}-\textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } } \FloatJail{}{}{ \infloattext{ - \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}} - autoprotolýza:\\ + \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}}-autoprotolýza:\\ Z předpokladu, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} to vypadá, jako by veškeré \ilm{H_3O^+} ionty v roztoku pocházely jen z disociace kyseliny. To ale není pravda, protože jde o vodný roztok kyseliny a voda disociuje také - viz \emph{autoprotolýza}. Aby předpoklad \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} fakt platil, je třeba odečíst ty \ilm{H_3O^+} ionty, které autoprotolýzou vznikly. Všechny \ilm{H_3O^+} vzniklé autoprotolýzou mají protiont \ilm{OH^-}, viz rovnice autoprotolýzy; disociací kyseliny žádné \ilm{OH^-} ionty nevznikají. Proto je potřeba od celkové koncentrace \ilm{H_3O^+} odečíst koncentraci iontů \ilm{OH^-}. Výsledek pak udává koncentraci \ilm{H_3O^+} iontů, které vznikly pouze disociací kyseliny. } \infloattext{ - \textcolor{darkgreen}{\ilm{[A^-]}} - úbytek disociací:\\ - Úvaha \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} se nám snaží podsunout představu, že koncentrace nedisociované formy kyseliny je stejná jako celková (analytická) koncentrace kyseliny v roztoku. To je zřejmá blbost - kdyby to tak bylo, kyselina by nedisociovala vůbec. Pro určení skutečné [HA] je třeba od analytické koncentrace odečíst koncentraci kyseliny, co rozdisociovala. Výraz \ilm{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}} vypadá ve finální podobě po dosazení za \ilm{[A^-]} takto: \ilm{c_{HA} - [H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}. + \textcolor{darkgreen}{\ilm{[A^-]}}-úbytek disociací:\\ + Úvaha \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} se nám snaží podsunout představu, že koncentrace nedisociované formy kyseliny je stejná jako celková (analytická) koncentrace kyseliny v roztoku. To je zřejmá blbost-kdyby to tak bylo, kyselina by nedisociovala vůbec. Pro určení skutečné [HA] je třeba od analytické koncentrace odečíst koncentraci kyseliny, co rozdisociovala. Výraz \ilm{c_{HA}-\textcolor{darkgreen}{[A^-]}} vypadá ve finální podobě po dosazení za \ilm{[A^-]} takto: \ilm{c_{HA}-[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}. } - \infloattext{ + \infloattext{% Při výpočtech se postupuje tak, že oba výše zmíněné nedostatky nejdříve směle ignorujeme a následně zkontrolujeme, jak masivní chyby jsme se těmito zanedbáními dopustili. } } - \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{ + \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{% \begin{align*} - [H_3O^+] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\ - [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\ + [H_3O^{+}] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\ + {[H_3O^+]}^2 &= K_A c_{HA} \\ [H_3O^+] &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\ pH &= -\log \left(\sqrt{K_A c_{HA}}\right) \\ pH &= -\log \sqrt{10^{\num{-4,75}} \cdot \num{1,0e-2}} \\ @@ -276,33 +271,33 @@ Ověříme, zda použitá zjednodušení nezpůsobila kataklyzmatickou odchylku - \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ - \textcolor{skyblue}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{% + \textcolor{skyblue}{% \[ K_W = [H_3O^+][OH^-] = 10^{-14} \] } \[ - \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{\textcolor{skyblue}{K_W}}{\textcolor{skyblue}{[H_3O^+]}[H_3O^+]} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-3,375}}\right)^2} = 10^{\num{-7,250}} + \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{\textcolor{skyblue}{K_W}}{\textcolor{skyblue}{[H_3O^+]}[H_3O^+]} = \frac{10^{-14}}{{\left(10^{\num{-3,375}}\right)}^2} = 10^{\num{-7,250}} \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering \ilm{10^{\num{-7,250}}} je menší než \num{0,05}, vliv autoprotolýzy není třeba uvažovat \large{\checkmark} } } - \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{% \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-3,375}}}{\num{1e-2}} = \num{0,042} \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering \num{0,042} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací taky netřeba řešit \large{\checkmark} } } - \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice - fenol} + \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice-fenol} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fenolu o koncentraci \SI{1,0e-4}{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} @@ -312,30 +307,30 @@ \paragraph{Výpočet} Začátek výpočtu je úplně stejný jako v \hyperref[ph:weak_acid]{předchozím příkladě}. - \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{ + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{% \begin{align*} - [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\ + {[H_3O^+]}^2 &= K_A c_{HA} \\ pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\ pH &= -\log \sqrt{\num{1,047e-14}} \\ pH &= \num{6,990} \end{align*} } - \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{% \[ - \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0 + \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{{[H_3O^+]}^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0 \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering 1 je poněkud víc než \num{0,05}, autoprotolýzu je třeba uvažovat \large{\Stopsign} } } - \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{% \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-6,990}}}{\num{1e-4}} = \num{0,001} \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering \num{0,001} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací je v pohodě \large{\checkmark} } @@ -344,16 +339,16 @@ Taktické doporučení:\\ Pokud by vám někdy vyšlo, že nelze zanedbat ani jedno, s nejvyšší pravděpodobností jste někde udělali chybu. Pokus o uvažování obou jevů by vedl na kubickou rovnici, jejíž řešení je diplomaticky řečeno \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function\#General_formula_for_roots}{poněkud obtížnější}. - \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{ - \infloattext{ + \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{% + \infloattext{% \centering Upravená rovnice uvažující autoprotolýzu } - \rmm{ - [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]} + \rmm{% + [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]-[OH^-]} } \rmm{ - [H_3O^+]^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA} + {[H_3O^+]}^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA} } \rmm{ [H_3O^+] = \sqrt{K_A c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}} @@ -366,51 +361,50 @@ \end{align*} } - \subsection{Výpočet pH slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice - dimethylamin} - \label{ph:weak_base} + \subsection{Výpočet pH slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice-dimethylamin}\label{ph:weak_base} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku dimethylaminu o koncentraci \SI{1,0e-3}{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_B}(dimethylamin) && \num{3,02} + \ilm{pK_B} (dimethylamin) && \num{3,02} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} Principiálně shodný se \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinou}. - \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{ + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{% \rmm{ B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^- } } Z této rovnice můžeme vymyslet vztah pro disociační konstantu - \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{ + \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{% \rmm{ K_B = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} } - \infloattext{ + \infloattext{% \centering Z té chceme vyjádřit \ilm{[OH^-]} } - \rmm{ + \rmm{% [OH^-] = K_B \frac{[B]}{[BH^+]} } - \infloattext{ + \infloattext{% \centering A protože \ilm{[BH^+] \approx [OH^-]} a \ilm{[B] \approx c_B} } - \rmm{ + \rmm{% [OH^-] = K_B \frac{c_B}{[OH^-]} } - \infloattext{ + \infloattext{% \centering Kdyby se uvažoval úbytek disociací a autoprotolýza, vypadala by rovnice takto: } - \rmm{ - [OH^-] = K_B \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} + \rmm{% + [OH^-] = K_B \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-]-\textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} } } - \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{ + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{% \begin{align*} - [OH^-]^2 &= K_B c_B \\ + {[OH^-]}^2 &= K_B c_B \\ [OH^-] &= \sqrt{\num{9,550e-7}} \\ [OH^-] &= \SI{9,772e-4}{\mpdm} \\ pOH &= \num{3,01} \\ @@ -418,41 +412,41 @@ \end{align*} } - \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ - \infloattext{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{% + \infloattext{% \centering Bacha, zlomek je obráceně než při počítání s kyselinou } \[ - \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{K_W}{[OH^-]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{9,550e-7}} \approx 10^{-8} + \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{K_W}{{[OH^-]}^2} = \frac{10^{-14}}{\num{9,550e-7}} \approx 10^{-8} \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering V pohodě \large{\checkmark} } } - \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{% \[ \frac{[OH^-]}{c_B} = \frac{\num{9,772e-4}}{\num{0.977}} \approx \num{1} \] - \infloattext{ + \infloattext{% \centering Nutno uvažovat úbytek disociací \large{\Stopsign} } } - \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[OH^-]} s vlivem úbytku disociace}{ - \rmm{ - [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} + \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[OH^-]} s vlivem úbytku disociace}{% + \rmm{% + [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} } \infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat } - \rmm{ - [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}} + \rmm{% + [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}} } - \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice} } - \rmm{ - [OH^+]^2 + K_{B}[OH^-] - K_{b} c_{B} = 0 + \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice}} + \rmm{% + [OH^+]^2 + K_{B}[OH^-]-K_{b} c_{B} = 0 } \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ @@ -469,63 +463,62 @@ } - \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny - EDTA} - \paragraph{Zadání} - \label{ac:edta} + \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny-EDTA} + \paragraph{Zadání}\label{ac:edta} Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku EDTA o koncentraci \SI{1,0e-2}{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_{A,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\ - \ilm{pK_{A,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\ - \ilm{pK_{A,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\ - \ilm{pK_{A,4}}(EDTA) && \num{10,26} + \ilm{pK_{A,1}} (EDTA) && \num{1,99} \\ + \ilm{pK_{A,2}} (EDTA) && \num{2,67} \\ + \ilm{pK_{A,3}} (EDTA) && \num{6,18} \\ + \ilm{pK_{A,4}} (EDTA) && \num{10,26} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} Brønstedova rovnice by se musela odvodit pro každý stupeň disociace. Platí následující vztahy: - \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{ - \rmm { [H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i } + \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{% + \rmm{[H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i} } Pokud je \ilm{K_{A,1} >> K_{A,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{A,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{A,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády. - \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{ - \rmm{ - [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} + \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{% + \rmm{% + [H_3O^+]_{celk} \approx{} [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } } V opačném případě je nutné uvažovat i další disociační stupeň. - \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{ - \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} } - \rmm{ [H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-] } - \rmm{ [H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}] } - \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} } - \rmm{ K_{A,2} = [H_3O^+]_2 } + \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{% + \rmm{K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]}} + \rmm{[H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-]} + \rmm{[H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}]} + \rmm{K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1}} + \rmm{K_{A,2} = [H_3O^+]_2} } \textbf{Výpočet pH EDTA ze zadání} \begin{enumerate} \item Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by šlo o nudnou jednosytnou kyselinu - \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{ + \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{% \begin{align*} - [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\ - [H_3O^+]_1 &= \SI{1,015e-2}{\mpdm} + {[H_3O^+]}_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\ + {[H_3O^+]}_1 &= \SI{1,015e-2}{\mpdm} \end{align*} } Ověříme použitelnost obou zjednodušení - \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{% \[ - \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx 10^{-10} + \frac{K_W}{{[H_3O^+]}^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx{} 10^{-10} \] \infloattext{\centering OK \large{\checkmark} } } - \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{ + \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{% \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{\num{1,015e-2}}{\num{1e-2}} = \num{1,015} \] @@ -534,17 +527,17 @@ \item Provedeme korekci na úbytek disociací - \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{ + \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{% \rmm{ - [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} + [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } \infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat } \rmm{ - [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}} + [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}} } - \infloattext{\centering Řešení je úplně stejné jako \hyperref[ph:weak_base]{zde}, jen se místo \ilm{K_{B}} a \ilm{c_{B}} dosazují \ilm{K_{A}} a \ilm{c_{HA}} } + \infloattext{\centering Řešení je úplně stejné jako \hyperref[ph:weak_base]{zde}, jen se místo \ilm{K_{B}} a \ilm{c_{B}} dosazují \ilm{K_{A}} a \ilm{c_{HA}}} \rmm{ - [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+] - K_{A,1} c_{HA} = 0 + [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+]-K_{A,1} c_{HA} = 0 } \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ @@ -561,9 +554,9 @@ \FloatJail{calculation}{Vliv druhého disociačního stupně}{ \begin{align*} - [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{A,2} \\ - [H_3O^+]_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\ - [H_3O^+]_{celk} &= \SI{8,358e-3}{\mpdm} \\ + {[H_3O^+]}_{celk} &= {[H_3O^+]}_1 + K_{A,2} \\ + {[H_3O^+]}_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\ + {[H_3O^+]}_{celk} &= \SI{8,358e-3}{\mpdm} \\ pH &= -\log \num{8,358e-3} \\ pH &= \num{2,078} \end{align*} @@ -572,24 +565,23 @@ \noindent (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování všech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11}) - \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady - octan sodný} - \label{ph:weak_acid_strg_base} + \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady-octan sodný}\label{ph:weak_acid_strg_base} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku octanu sodného o koncentraci \SI{1e-2}{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_A(CH_3COOH)} && \num{4,75} + \ilm{pK_A (CH_3COOH)} && \num{4,75} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} V principu jde o totéž jako v případě \hyperref[ph:weak_acid]{slabé kyseliny}. Zase se sestaví vztah pro disociační konstantu, ze kterého se vyjádří koncentrace \ilm{H_3O^+} iontů. - \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{ - \rmm{ - NaA \rightleftharpoons Na^+ + A^- + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{% + \rmm{% + NaA \rightleftharpoons{} Na^+ + A^- } - \rmm{ - A^- + H_2O \rightleftharpoons HA + OH^- + \rmm{% + A^- + H_2O \rightleftharpoons{} HA + OH^- } \infloattext{ Kation silné zásady bude vždycky v disociované formě, což se anionu slabé kyseliny moc nelíbí. Aby mohl anion slabé kyseliny \uv{naasociovat} zpátky, musí k tomu sebrat \ilm{H^+} z vody. Z tohoto důvodu jsou roztoky solí silné báze a slabé kyseliny zásadité. @@ -1531,8 +1523,8 @@ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}{ \begin{align*} - \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\ - [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]} + \beta{} &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\ + [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\beta{} (AlY^-) [Y]} \end{align*} } @@ -1540,11 +1532,11 @@ \begin{align*} [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ - [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ + {[Al^{3+}]}^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}} \end{align*} - Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA. + Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA \begin{align*} [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\ -- 2.43.5