From: Michal Malý Date: Fri, 16 Jan 2015 23:40:00 +0000 (+0100) Subject: - Přidáno zadání testu z 14. 3. 2015 X-Git-Tag: 1.5.0~13 X-Git-Url: https://gitweb.devoid-pointer.net/?a=commitdiff_plain;h=589596c56e8d930e80950dc88848b01fe0d63907;p=tzach_problems.git - Přidáno zadání testu z 14. 3. 2015 - \FloatJail přepsán z \FloatBarrieru na \parbox - pKa, Ka, pKb a Kb nahrazeny správnějším pKA, KA atd. --- diff --git a/tzach_problems_solved.tex b/tzach_problems_solved.tex index 9ceb358..dd12f17 100644 --- a/tzach_problems_solved.tex +++ b/tzach_problems_solved.tex @@ -2,6 +2,7 @@ \usepackage{amssymb} \usepackage{booktabs} +\usepackage{caption} \usepackage{color} \usepackage{commath} \usepackage{float} @@ -26,9 +27,11 @@ \floatstyle{ruled} \newfloat{calculation}{!ht}{calc} \floatname{calculation}{Výpočet} +\captionsetup[calculation]{format=hang,labelfont=bf,justification=RaggedRight,position=above,hypcap=false} \newfloat{theorem}{!ht}{theor} \floatname{theorem}{Rovnice} +\captionsetup[theorem]{format=hang,labelfont=bf,justification=RaggedRight,position=above,hypcap=false} \setmainlanguage{czech} \PolyglossiaSetup{czech}{indentfirst=true} @@ -49,7 +52,20 @@ \newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textminus}}\circ}} \newcommand{\infloattext}[1]{\parbox{\linewidth}{\vspace*{\baselineskip}#1}} \newcommand{\uv}[1]{\glqq{#1}\grqq} -\newcommand{\FloatJail}[1]{\FloatBarrier #1 \FloatBarrier} +\newcommand{\FloatJail}[3]{ +\vspace{\baselineskip} +\parbox[c]{0.90\textwidth}{ + \hrule + \vspace*{0.3\baselineskip} + \captionof{#1}{#2} + \hrule + \vspace*{0.3\baselineskip} + #3 + \hrule +} +\vspace{\baselineskip} +} +\newcommand{\FloatJailNoCap}[1]{\vspace*{\baselineskip} \begin{minipage}{0.9\textwidth} {#1} \end{minipage} \vspace*{\baselineskip}} \newcommand{\Rmnum}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@} \definecolor{redorange}{rgb}{1,0.2,0} \definecolor{darkgreen}{rgb}{0.1,0.5,0.2} @@ -60,8 +76,6 @@ {\color{#1}% \fbox{\color{currentcolor}#2}}% } -\widowpenalty=1000 -\clubpenalty=1000 \title{ŘeÅ¡ené příklady z Teoretických základů analytické chemie} \date{} @@ -80,25 +94,24 @@ Je pravděpodobné, že dokument bude postupně doplňován, opravován a aktualizován. Odkaz ke stažení nejaktuálnější verze najdete \hyperref[intro:info]{zde}. Jakékoliv připomínky, dotazy nebo řeÅ¡ení příkladů, které zde nejsou můžete spamovat na uvedený e-mail. \paragraph{} - Při řeÅ¡ení příkladů jsou použity některé podlé matematické hacky, např. \\ + Při řeÅ¡ení příkladů jsou použity některé podlé matematické hacky, např. \begin{center} \begin{tabular}{l>{=}cr} \ilm{\left(x^n\right)^m} && \ilm{x^{m \cdot n}} \\ \ilm{\log 10^a + \log 10^b} && \ilm{a + b} \\ \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{[H_3O^+][OH^-]} \\ - \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_a \cdot K_b} + \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_A \cdot K_A} \end{tabular} \end{center} - tak ne, že se tím necháte zaskočit. + \indent tak ne, že se tím necháte zaskočit. \paragraph{} Příjemnou zábavu... - \begin{table}[b] + \begin{center} \label{intro:info} - \centering \begin{tabular}{b{3cm}>{\raggedleft\arraybackslash}p{11cm}} - \textbf{Verze} & 1.2.1 (\today) \\ + \textbf{Verze} & 1.3.0 (\today) \\ \textbf{E-mail} & \href{mailto:madcatxster@devoid-pointer.net}{madcatxster@devoid-pointer.net} \\ \textbf{Download} & \url{http://devoid-pointer.net/tzach/tzach_problems_solved.pdf} \\ \textbf{\XeLaTeX ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\ @@ -107,18 +120,18 @@ \multicolumn{2}{l}{\textbf{Changelog}} \\ \multicolumn{2}{l}{ \begin{tabular*}{\linewidth}{l>{-}cp{11cm}} + 1.3.0 && Přidáno zadání testu z 14. 1. 2015 \\ 1.2.1 && Opraven chybný vzorec výpočtu kvadratické rovnice v příkladu 2.5 \\ && Opravena definice součinu rozpustnosti \\ 1.2.0 && Přidáno zadání testu z 14. 3. 2014 \\ 1.1.2 && Použít korektnější výraz \emph{konstanta stability} místo \emph{disociační konstanta}, doplnit zadání u příkladu 5.2 \\ 1.1.1 && V příkladu na pH kyselého pufru chybně uveden střední aktivitní koeficient \\ - 1.1 && Oprava spousty překlepů a dalších drobných nedostatků + 1.1.0 && Oprava spousty překlepů a dalších drobných nedostatků \end{tabular*} } \end{tabular} - \end{table} + \end{center} - \FloatBarrier \pagebreak \section{Protolytické rovnováhy} @@ -126,32 +139,31 @@ \paragraph{Zadání} Vypočítejte pH roztoku kyseliny dusičné o koncentraci \num{1,0e-3}~\mpdm. Jaký vliv má na přesnost výpočtu iontová síla roztoku? - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Pro výpočet je nutné znát definici pH - \begin{theorem} - \caption{Definice pH} + + \FloatJail{theorem}{Definice pH}{ \rmm{ pH = -\log a_{H_3O^+} } \infloattext{ \centering Velmi často se užívá zjednoduÅ¡ené definice } \rmm{ pH = -\log [H_3O^+] } - \end{theorem} + } Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny. - \begin{calculation} - \caption{pH bez vlivu iontové síly} + + \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{ \begin{align*} pH &= -\log [H_3O^+] \\ pH &= -\log c_{HNO_3} \\ pH &= -\log \num{1e-3} \\ pH &= \num{3,000} \end{align*} - \end{calculation} + } Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto - \begin{calculation} - \caption{Iontová síla} + + \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{ \begin{align*} I &= \frac{1}{2} \sum\limits^n_{i=1} c_i z_i^2 \\ I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_3O^+} z_{H_3O^+}^2 + c_{NO_3^-} + z_{NO_3^-}^2\right) \\ @@ -159,9 +171,9 @@ I &= \frac{1}{2} \num{2,0e-3} \\ I &= \num{1,0e-3}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} - \begin{calculation} - \caption{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací} + } + + \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{ \begin{align*} \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{H_3O^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \num{3,162e-2}}{\num{1,032}} \\ @@ -170,16 +182,14 @@ \gamma_{H_3O^+} &= 10^{\num{-0,016}} \\ \gamma_{H_3O^+} &= \num{0,964} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{pH s uvažováním iontové síly} + \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{ \begin{align*} pH &= -\log \left([H_3O^+] \cdot \gamma_{H_3O^+}\right) \\ pH &= -\log \left(\num{1,0e-3} \cdot \num{0,964}\right) \\ pH &= \num{3,016} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice - kyselina octová} @@ -187,36 +197,34 @@ \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \num{1,0e-2}~\mpdm. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_a} && \num{4,75} + \ilm{pK_A} && \num{4,75} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} Z rovnice disociace kyseliny sestavíme vztah pro disociační konstantu. Vhodnou úpravou tohoho vztahu získáme vztah mezi disociační konstantou slabé kyseliny a pH jejího roztoku. - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{Rovnice disociace} - \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- } - \end{theorem} - - \begin{theorem} - \caption{Disociační konstanta} - \rmm{ K_a = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} } - \centering - ZjednoduÅ¡eně pomocí koncentrací - \rmm{ K_a = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} } - \end{theorem} - \begin{theorem} - \caption{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu} + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{ + \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- } + } + + \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{ + \rmm{ K_A = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} } + ZjednoduÅ¡eně pomocí koncentrací + \rmm{ K_A = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} } + } + + \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{ \infloattext{ \centering \textbf{ZjednoduÅ¡ující předpoklady}\\ Z rovnice disociace je patrné, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} \\ Dále můžeme uvažovat, že \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} } - \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{[HA]}{[A^-]} } - \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } + \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{[HA]}{[A^-]} } + \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } + } + \FloatJailNoCap{ \infloattext{ \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}} - autoprotolýza:\\ Z předpokladu, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} to vypadá, jako by veÅ¡keré \ilm{H_3O^+} ionty v roztoku pocházely jen z disociace kyseliny. To ale není pravda, protože jde o vodný roztok kyseliny a voda disociuje také - viz \emph{autoprotolýza}. Aby předpoklad \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} fakt platil, je třeba odečíst ty \ilm{H_3O^+} ionty, které autoprotolýzou vznikly. VÅ¡echny \ilm{H_3O^+} vzniklé autoprotolýzou mají protiont \ilm{OH^-}, viz rovnice autoprotolýzy; disociací kyseliny žádné \ilm{OH^-} ionty nevznikají. Proto je potřeba od celkové koncentrace \ilm{H_3O^+} odečíst koncentraci iontů \ilm{OH^-}. Výsledek pak udává koncentraci \ilm{H_3O^+} iontů, které vznikly pouze disociací kyseliny. @@ -228,28 +236,23 @@ \infloattext{ Při výpočtech se postupuje tak, že oba výše zmíněné nedostatky nejdříve směle ignorujeme a následně zkontrolujeme, jak masivní chyby jsme se těmito zanedbáními dopustili. } - \end{theorem} - } + } - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{pH kyseliny octové ze zadání} + \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{ \begin{align*} - [H_3O^+] &= K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\ - [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\ - [H_3O^+] &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\ - pH &= -\log \left(\sqrt{K_a c_{HA}}\right) \\ + [H_3O^+] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\ + [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\ + [H_3O^+] &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\ + pH &= -\log \left(\sqrt{K_A c_{HA}}\right) \\ pH &= -\log \sqrt{10^{\num{-4,75}} \cdot \num{1,0e-2}} \\ pH &= -\log \sqrt{\num{1,778e-7}} \\ pH &= \num{3,375} \end{align*} - \end{calculation} } Ověříme, zda použitá zjednoduÅ¡ení nezpůsobila kataklyzmatickou odchylku - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Kontrola autoprotolýzy} + + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ \textcolor{skyblue}{ \[ K_W = [H_3O^+][OH^-] = 10^{-14} @@ -263,10 +266,9 @@ \centering \ilm{10^{\num{-7,250}}} je menší než \num{0,05}, vliv autoprotolýzy není třeba uvažovat \large{\checkmark} } - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Kontrola úbytku disociací} + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-3,375}}}{\num{1e-2}} = \num{0,042} \] @@ -274,32 +276,28 @@ \centering \num{0,042} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací taky netřeba řeÅ¡it \large{\checkmark} } - \end{calculation} } \subsection{Výpočet koncentrace slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice - fenol} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fenolu o koncentraci \num{1,0e-4} \mpdm. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_a} && \num{9,98} + \ilm{pK_A} && \num{9,98} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Začátek výpočtu je úplně stejný jako v \hyperref[ph:weak_acid]{předchozím příkladě}. - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{ \begin{align*} - [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\ - pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\ + [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\ + pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\ pH &= -\log \sqrt{\num{1,047e-14}} \\ pH &= \num{6,990} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Kontrola autoprotolýzy} + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ \[ \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0 \] @@ -307,10 +305,9 @@ \centering 1 je poněkud víc než \num{0,05}, autoprotolýzu je třeba uvažovat \large{\Stopsign} } - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Kontrola úbytku disociací} + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-6,990}}}{\num{1e-4}} = \num{0,001} \] @@ -318,24 +315,24 @@ \centering \num{0,001} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací je v pohodě \large{\checkmark} } - \end{calculation} + } + Taktické doporučení:\\ Pokud by vám někdy vyÅ¡lo, že nelze zanedbat ani jedno, s nejvyšší pravděpodobností jste někde udělali chybu. Pokus o uvažování obou jevů by vedl na kubickou rovnici, jejíž řeÅ¡ení je diplomaticky řečeno \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function\#General_formula_for_roots}{poněkud obtížnější}. - \begin{calculation} - \caption{pH, je-li uvažována autoprotolýza} + \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{ \infloattext{ \centering Upravená rovnice uvažující autoprotolýzu } \rmm{ - [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]} + [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]} } \rmm{ [H_3O^+]^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA} } \rmm{ - [H_3O^+] = \sqrt{K_a c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}} + [H_3O^+] = \sqrt{K_A c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}} } \begin{align*} [H_3O^+] &= \sqrt{10^{\num{9,98}} \cdot \num{1e-4} + 10^{-14}} \\ @@ -343,7 +340,6 @@ [H_3O^+] &= \num{1,431e-7}\:[\mpdm] \\ pH &= \num{6,844} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet koncentrace slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice - dimethylamin} @@ -353,55 +349,51 @@ \ilm{pK_b}(dimethylamin) && \num{3,02} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Principiálně shodný se \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinou}. - \begin{theorem} - \caption{Rovnice disociace báze} + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{ \rmm{ B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^- } - \end{theorem} + } Z této rovnice můžeme vymyslet vztah pro disociační konstantu - \begin{theorem} - \caption{Disociační konstanta báze} - \rmm{ K_b = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} } + + \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{ + \rmm{ K_B = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} } \infloattext{ \centering Z té chceme vyjádřit \ilm{[OH^-]} } \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{[B]}{[BH^+]} + [OH^-] = K_B \frac{[B]}{[BH^+]} } \infloattext{ \centering A protože \ilm{[BH^+] \approx [OH^-]} a \ilm{[B] \approx c_B} } \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{c_B}{[OH^-]} + [OH^-] = K_B \frac{c_B}{[OH^-]} } \infloattext{ \centering Kdyby se uvažoval úbytek disociací a autoprotolýza, vypadala by rovnice takto: } \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} + [OH^-] = K_B \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} } - \end{theorem} + } - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH dimethylaminu} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{ \begin{align*} - [OH^-]^2 &= K_b c_B \\ + [OH^-]^2 &= K_B c_B \\ [OH^-] &= \sqrt{\num{9,550e-7}} \\ [OH^-] &= \num{9,772e-4}\:[\mpdm] \\ pOH &= \num{3,01} \\ pH &= \num{10,99} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Kontrola autoprotolýzy} + \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{ \infloattext{ \centering Bacha, zlomek je obráceně než při počítání s kyselinou @@ -413,9 +405,9 @@ \centering V pohodě \large{\checkmark} } - \end{calculation} - \begin{calculation} - \caption{Kontrola úbytku disociací} + } + + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ \[ \frac{[OH^-]}{c_B} = \frac{\num{9,550e-7}}{\num{1e-3}} \approx \num{1e-3} \] @@ -423,124 +415,109 @@ \centering V pohodě \large{\checkmark} } - \end{calculation} } \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny - EDTA} \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku EDTA o koncentraci \num{1,0e-2} \mpdm. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_{a,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\ - \ilm{pK_{a,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\ - \ilm{pK_{a,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\ - \ilm{pK_{a,4}}(EDTA) && \num{10,26} + \ilm{pK_{A,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\ + \ilm{pK_{A,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\ + \ilm{pK_{A,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\ + \ilm{pK_{A,4}}(EDTA) && \num{10,26} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Brønstedova rovnice by se musela odvodit pro každý stupeň disociace. Platí následující vztahy: - \begin{theorem} - \caption{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}} + + \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{ \rmm { [H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i } - \end{theorem} + } - Pokud je \ilm{K_{a,1} >> K_{a,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{a,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{a,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády. + Pokud je \ilm{K_{A,1} >> K_{A,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{A,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{A,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády. - \begin{theorem} - \caption{Jako pro jednosytnou kyselinu} + \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{ \rmm{ - [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} + [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } - \end{theorem} + } V opačném případě je nutné uvažovat i další disociační stupeň. - \begin{theorem} - \caption{Výpočet s dalším disociačním stupněm} - \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} } + + \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{ + \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} } \rmm{ [H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-] } \rmm{ [H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}] } - \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} } - \rmm{ K_{a,2} = [H_3O^+]_2 } - \end{theorem} + \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} } + \rmm{ K_{A,2} = [H_3O^+]_2 } + } \textbf{Výpočet pH EDTA ze zadání} \begin{enumerate} - \item - \FloatJail{ - Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by Å¡lo o nudnou jednosytnou kyselinu - \begin{calculation} - \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň} + \item Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by Å¡lo o nudnou jednosytnou kyselinu + + \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{ \begin{align*} - [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{a,1} c_{HA}} \\ + [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\ [H_3O^+]_1 &= \num{1,015e-2}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} } - \FloatJail{ Ověříme použitelnost obou zjednoduÅ¡ení - \begin{calculation} - \caption{Kontrola vlivu autoprotolýzy} + + \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{ \[ \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx 10^{-10} \] \infloattext{\centering OK \large{\checkmark} } - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Kontrola vlivu úbytku disociací} + \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{ \[ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{\num{1,015e-2}}{\num{1e-2}} = \num{1,015} \] \infloattext{\centering Musí se uvažovat úbytek disociací \large{\Stopsign} } - \end{calculation} } \item Provedeme korekci na úbytek disociací - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace} + + \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{ \rmm{ - [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} + [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}} } \infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat } \rmm{ - [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}} + [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}} } \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice} } \rmm{ - [H_3O^+]^2 + K_{a,1}[H_3O^+] - K_{a,1} c_{HA} = 0 + [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+] - K_{A,1} c_{HA} = 0 } \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ - x_{1,2} &= \frac{-K_{a,1} \pm \sqrt{K_{a,1}^2 + 4 \cdot 1 \cdot K_{a,1} c_{HA}}}{2 \cdot 1} \\ + x_{1,2} &= \frac{-K_{A,1} \pm \sqrt{K_{A,1}^2 + 4 \cdot 1 \cdot K_{A,1} c_{HA}}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} &= \frac{-\num{0.010233} \pm \sqrt{\num{0.000105} + 4 \cdot 1 \cdot \num{0.000102}}}{2 \cdot 1} \\ x_1 &= \num{6,220e-3} \\ x_2 &= \num{-1,645e-2} \text{(nemá význam)} \end{align*} - \end{calculation} } \ilm{[H_3O^+]_1 = \num{6,220e-3}}~[\mpdm] - \item - \FloatJail{ - Protože rozdíl \ilm{pK_{a,1}} a \ilm{pK_{a,2}} je menší než 3, musíme uvažovat i druhý disociační stupeň - \begin{calculation} - \caption{Vliv druhého disociačního stupně} + \item Protože rozdíl \ilm{pK_{A,1}} a \ilm{pK_{A,2}} je menší než 3, musíme uvažovat i druhý disociační stupeň + + \FloatJail{calculation}{Vliv druhého disociačního stupně}{ \begin{align*} - [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{a,2} \\ + [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{A,2} \\ [H_3O^+]_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\ [H_3O^+]_{celk} &= \num{8,358e-3}\:[\mpdm] \\ pH &= -\log \num{8,358e-3} \\ pH &= \num{2,078} \end{align*} - \end{calculation} } \end{enumerate} - } - (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování vÅ¡ech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11}) + \noindent (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování vÅ¡ech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11}) \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady - octan sodný} \label{ph:weak_acid_strg_base} @@ -554,9 +531,7 @@ \paragraph{Výpočet} V principu jde o totéž jako v případě \hyperref[ph:weak_acid]{slabé kyseliny}. Zase se sestaví vztah pro disociační konstantu, ze kterého se vyjádří koncentrace \ilm{H_3O^+} iontů. - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady} + \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{ \rmm{ NaA \rightleftharpoons Na^+ + A^- } @@ -566,149 +541,134 @@ \infloattext{ Kation silné zásady bude vždycky v disociované formě, což se anionu slabé kyseliny moc nelíbí. Aby mohl anion slabé kyseliny \uv{naasociovat} zpátky, musí k tomu sebrat \ilm{H^+} z vody. Z tohoto důvodu jsou roztoky solí silné báze a slabé kyseliny zásadité. } - \end{theorem} + } - \begin{theorem} - \caption{Vztah pro disociační konstantu} + \FloatJail{theorem}{Vztah pro disociační konstantu}{ \rmm{ - K_b = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]} + K_B = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]} } \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{[A^-]}{[HA]} + [OH^-] = K_B \frac{[A^-]}{[HA]} } \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} + [OH^-] = K_B \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}} } \infloattext{\centering Platí stejná zjednoduÅ¡ovací pravidla jako vÅ¡ude jinde} \rmm{ - [OH^-]^2 = K_b c_{HA} + [OH^-]^2 = K_B c_{HA} } \rmm{ - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}}c_{HA} + \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_A}}c_{HA} } \rmm{ - [H_3O^+] = \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} + [H_3O^+] = \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}} + } } - \end{theorem} - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH octanu sodného ze zadání} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH octanu sodného ze zadání}{ \begin{align*} - [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\ + [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}} \\ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{-4,75}}}{\num{1e-2}}} \\ pH &= \num{8,375} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Vliv autoprotolýzy} + \FloatJail{calculation}{Vliv autoprotolýzy}{ \rmm{ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-16,750}}}{10^{-14}} \approx 10^{-3} } \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}} - \end{calculation} - \begin{calculation} - \caption{Vliv úbytku disociací} + } + + \FloatJail{calculation}{Vliv úbytku disociací}{ \rmm{ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}} } \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet pH soli vícesytné kyseliny - fosforečnan draselný} \paragraph{Zadání} - Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fosforečnanu draselného o koncentraci \num{1e-3}~\mpdm. \\ + Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fosforečnanu draselného o koncentraci \num{1e-3}~\mpdm. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\ - \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\ - \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32} + \ilm{pK_{A,1}} && \num{2,12} \\ + \ilm{pK_{A,2}} && \num{7,21} \\ + \ilm{pK_{A,3}} && \num{12,32} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} - Protože \ilm{K_{a,n} << K_{a,1}}, uplatní se při disociaci jen poslední stupeň. Počítá se to pak jako sůl jednosytné kyseliny. + Protože \ilm{K_{A,n} << K_{A,1}}, uplatní se při disociaci jen poslední stupeň. Počítá se to pak jako sůl jednosytné kyseliny. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH fosforečnanu draselného}{ \begin{align*} - pH &= -\log \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\ + pH &= -\log \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}} \\ pH &= -\log \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{12,32}}}{10^{-3}}} \\ pH &= \num{11,66} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Vliv autoprotolýzy} + \FloatJail{calculation}{Vliv autoprotolýzy}{ \rmm{ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-23,320}}}{10^{-14}} \approx 10^{-9} } \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}} - \end{calculation} - \begin{calculation} - \caption{Vliv úbytku disociací} + } + + \FloatJail{calculation}{Vliv úbytku disociací}{ \rmm{ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}} = \num{0,021} } \infloattext{\centering Nelze zanedbat, protože řeÅ¡ení kvadratických rovnic není nikdy dost otravné \large{\Stopsign}} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného s uvažováním úbytku disociací} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH fosforečnanu draselného s uvažováním úbytku disociací}{ \rmm{ - [OH^-] = K_b \frac{c_{NaA} - [OH^-]}{[OH^-]} + [OH^-] = K_B \frac{c_{NaA} - [OH^-]}{[OH^-]} } \rmm{ - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}} \frac{c_{NaA} - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }{ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} } + \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_A}} \frac{c_{NaA} - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }{ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} } } \rmm{ - [H_3O^+]^2 c_{NaA} - [H_3O^+]K_W - K_W K_a = 0 + [H_3O^+]^2 c_{NaA} - [H_3O^+]K_W - K_W K_A = 0 } \begin{align*} [H_3O^+] &= \num{1,046e-11} \\ pH &= \num{10,98} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet pH kyselého pufru} \paragraph{Zadání} Vypočítejte pH tlumivého roztoku obsahujícího \num{0,04}~\mpdm\space\ilm{NaH_2PO_4} a \num{0,02}~\mpdm\space\ilm{Na_2HPO_4}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\ - \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\ - \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32} + \ilm{pK_{A,1}} && \num{2,12} \\ + \ilm{pK_{A,2}} && \num{7,21} \\ + \ilm{pK_{A,3}} && \num{12,32} \end{tabular} \paragraph{Výpočet} Pokud nechceme uvažovat iontovou sílu, stačí nám obyčejná \emph{Hendersonova-Hasselbachova} rovnice. Fosforečnan disodný vystupuje jako sůl, dihydrogenfosforečnan sodný jako kyselina. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{pH kyselého pufru z HH rovnice} + \FloatJail{calculation}{pH kyselého pufru z HH rovnice}{ \begin{align*} - pH &= pK_a - \log \frac{c_{HA}}{c_{NaA}} \\ + pH &= pK_A - \log \frac{c_{HA}}{c_{NaA}} \\ pH &= \num{7,21} -\log \frac{\num{0,04}}{\num{0,02}} \\ pH &= \num{6,909} \end{align*} - \end{calculation} } Značná odliÅ¡nost od úředního výsledku je způsobená právě zanedbáním iontové síly. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Iontová síla} - \begin{align*} - I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=}^{n} c_i z_i^2 \\ - I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_2PO_4^-}z_{H_2PO_4^-} + c_{HPO_4^{2-}}z_{HPO_4^{2-}} + c_{Na^+}z_{Na^+}\right) \\ - I &= \frac{1}{2} \left(\num{0,04} \cdot 1^2 + \num{0,02} \cdot 2^2 + \num{0,08} \cdot 1^2\right) \\ - I &= \num{0,100}\:[\mpdm] - \end{align*} - \end{calculation} + \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{ + \begin{align*} + I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=}^{n} c_i z_i^2 \\ + I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_2PO_4^-}z_{H_2PO_4^-} + c_{HPO_4^{2-}}z_{HPO_4^{2-}} + c_{Na^+}z_{Na^+}\right) \\ + I &= \frac{1}{2} \left(\num{0,04} \cdot 1^2 + \num{0,02} \cdot 2^2 + \num{0,08} \cdot 1^2\right) \\ + I &= \num{0,100}\:[\mpdm] + \end{align*} + } - \begin{calculation} - \caption{Aktivitní koeficenty jednotlivých iontů dle McInnesovy aproximace} + \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficenty jednotlivých iontů dle McInnesovy aproximace}{ \infloattext{ Kvůli rozvleklému a nezajímavému postupu jsou uvedeny jen výsledky } @@ -717,32 +677,29 @@ \gamma_{H_2PO_4^-} &= 10^{\num{-0,122}} = \num{0,755} \\ \gamma_{HPO_4^{2-}} &= 10^{\num{-0,244}} = \num{0,570} \\ \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace kyseliny a soli korigované přísluÅ¡nými aktivitními koeficienty} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace kyseliny a soli korigované přísluÅ¡nými aktivitními koeficienty}{ \begin{align*} a_{NaH_2PO_4} &= \num{0,04} \cdot \gamma_{Na^+} \cdot \gamma_{H_2PO_4^-} = \num{0,023} \\ a_{Na_2HPO_4} &= \num{0,02} \cdot \gamma_{Na^+}^2 \cdot\gamma_{HPO_4^{2-}} = \num{0,006} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{HH rovnice s aktivitami místo koncentrací} + \FloatJail{calculation}{HH rovnice s aktivitami místo koncentrací}{ \begin{align*} - pH &= pK_a - \log \frac{a_{HA}}{a_{NaA}} \\ - pH &= pK_a - \log \frac{\num{0,023}}{\num{0,006}} \\ + pH &= pK_A - \log \frac{a_{HA}}{a_{NaA}} \\ + pH &= pK_A - \log \frac{\num{0,023}}{\num{0,006}} \\ pH &= \num{6,626} \end{align*} \infloattext{ I tento výsledek se liší od oficiálního (\num{6,54}), nicméně PeakMaster souhlasí se mnou! } - \end{calculation} - } + } - \subsection{Výpočet pH roztoků při zadané koncentraci H\textsubscript{3}O\textsuperscript{+} či OH\textsuperscript{-}} - \FloatJail{ + \subsection{Výpočet pH roztoků při zadané koncentraci H\textsubscript*{3}O\textsuperscript*{+} či OH\textsuperscript*{-}} + \FloatJailNoCap{ \begin{itemize} \item \begin{align*} pH &= -\log [H_3O^+] \\ @@ -763,7 +720,7 @@ } \subsection{Výpočet pH ze známé koncentrace silné kyseliny či báze} - \FloatJail{ + \FloatJailNoCap{ \begin{itemize} \item \ilm{\num{0,03}\:\mpdm\:H_2SO_4} @@ -787,139 +744,122 @@ \paragraph{Zadání} Odvoďte odpovídající vÅ¡eobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny kyanovodíkové o koncentraci \num{0,5}~\mpdm. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_a} && \num{9,30} + \ilm{pK_A} && \num{9,30} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Stejný jako pro každou jinou \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinu}. - \begin{calculation} - \caption{Výpočet pH HCN} + \FloatJail{calculation}{Výpočet pH HCN}{ \begin{align*} - pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\ + pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\ pH &= -\log \left(\num{1,583e-5}\right) \\ pH &= \num{4,801} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet pH s bonusovým krokem výpočtu molární koncentrace zadané látky} \paragraph{Zadání} Jaké je pH roztoku 1~\si{\gram} anilinu v 1000~\mL\space vody? \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_b} && \num{9,30} \\ + \ilm{pK_B} && \num{9,30} \\ \ilm{M(anilin)} && \num{93,13}\:\gpm \end{tabular} \\ - \textcolor{sovietred}{Pozor, v zadání je uvedeno \ilm{pK_a} místo \ilm{pK_b}, což je samozřejmě chyba.} + \textcolor{sovietred}{Pozor, v zadání je uvedeno \ilm{pK_A} místo \ilm{pK_B}, což je samozřejmě chyba.} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Stejný jako pro libovolnou slabou bázi, nejdřív je ale nutné spočítat koncentraci anilinu v roztoku. - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace anilinu} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace anilinu}{ \begin{align*} c &= \frac{n}{V} \\ c &= \frac{m}{VM} \\ c &= \frac{1}{1 \num{93,13}} \\ c &= \num{1,074}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{pH anilinu} + \FloatJail{calculation}{pH anilinu}{ \begin{align*} - pOH &= -\log \sqrt{K_b c_B} \\ + pOH &= -\log \sqrt{K_B c_B} \\ pOH &= -\log \num{2,320e-6} \\ pOH &= \num{5,635} \\ pH &= \num{8,365} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet množství kyseliny nutného k přípravě roztoku o zadaném pH} \paragraph{Zadání} Kolik gramů benzoové kyseliny (pKa = 4,20) je třeba rozpustit na přípravu 2000~\mL\space roztoku o pH = \num{2,85}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_a} && \num{4,20} \\ + \ilm{pK_A} && \num{4,20} \\ \ilm{M (C_6H_5COOH)} && \num{122,12}\:\gpm \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Postupuje se stejně jako při výpočtu pH \hyperref[ph:weak_acid]{slabé báze}, akorát se rovnice trochu zpřehází, abychom dostali hmotnost. - \begin{calculation} - \caption{Navážka kyseliny benzoové nutná k přípravě zadaného roztoku} + \FloatJail{calculation}{Navážka kyseliny benzoové nutná k přípravě zadaného roztoku}{ \begin{align*} - pH &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\ - 10^{-pH} &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\ - \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= c_{HA} \\ - MV \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= m_{HA} \\ + pH &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\ + 10^{-pH} &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\ + \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_A} &= c_{HA} \\ + MV \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_A} &= m_{HA} \\ 2 \cdot 1 \frac{10^{\num{-5,700}}}{10^{\num{-4,20}}} &= m_{HA} \\ m_{HA} &= \num{7,723}\:[\si{\gram}] \end{align*} - \end{calculation} - } + } \subsection{Výpočet pH kyseliny, je-li znám její hmotnostní zlomek} \label{ph:vinegar} \paragraph{Zadání} Jaké je pH 8\% octa. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_a} && \num{4,75} \\ + \ilm{pK_A} && \num{4,75} \\ \ilm{\rho_{ocet}} && \num{1,0097}\:\si{\gram\per\milli\litre} \\ \ilm{M(CH_3COOH)} && \num{60,05}\:\gpm \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Skoro totéž jako v předchozích dvou příkladech, jen je nutné koncentraci spočítat z hmotnostního zlomku - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace octa z hmotnostního zlomku} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace octa z hmotnostního zlomku}{ \begin{align*} m_{ocet} &= w \rho_{ocet} \\ c_{ocet} &= \frac{w \rho_{ocet}}{M V} \\ c_{ocet} &= \frac{\num{0,08} \cdot \num{1,0097}}{\num{60,05} \cdot \num{0,001}} \\ c_{ocet} &= \num{1,345}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} - - \begin{calculation} - \caption{pH 8\% octa} + } + + \FloatJail{calculation}{pH 8\% octa}{ \begin{align*} - pH &= -\log\sqrt{K_a c_{HA}} \\ + pH &= -\log\sqrt{K_A c_{HA}} \\ pH &= \num{2,311} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Výpočet hmotnostního zlomku látky v roztoku o zadaném pH} \paragraph{Zadání} Kolika procentní je vodný roztok amoniaku o pH = \num{10,5}. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} - \ilm{pK_b(NH_3)} && \num{4,74} \\ + \ilm{pK_B(NH_3)} && \num{4,74} \\ \ilm{M(NH_3)} && \num{17,031}~\gpm \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Totéž, co příklad s \hyperref[ph:vinegar]{octem}, jenže obráceně. - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace amoniaku v roztoku} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace amoniaku v roztoku}{ \begin{align*} - [OH^-] &= \sqrt{K_b c_B} \\ - \frac{[OH^{-}]^2}{K_b} &= c_B \\ + [OH^-] &= \sqrt{K_B c_B} \\ + \frac{[OH^{-}]^2}{K_B} &= c_B \\ c_B &= \frac{10^{-2 \cdot(14 - \num{10,5})}}{10^{-4,74}} \\ c_B &= \num{5,500e-3}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Hmotnostní zlomek amoniaku v roztoku} + \FloatJail{calculation}{Hmotnostní zlomek amoniaku v roztoku}{ \infloattext{ Pro co nejjednodušší výpočet bude za objem vždy dosazena hodnota 1~\si{\litre}. V tomto případě totiž platí, že \ilm{c_{NH_3} = n_{NH_3}}. } @@ -930,7 +870,6 @@ w_{NH_3} &= \num{9,366e-5} \\ w_{NH_3} &= \num{9,366e-3}\% \end{align*} - \end{calculation} } \section{Srážecí rovnováhy} @@ -947,9 +886,7 @@ \paragraph{Výpočet} Spočte se koncentrace rozpuÅ¡těného fosforečnanu stříbrného, ze které se pak spočítá součin rozpustnosti. - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{Součin rozpustnosti} + \FloatJail{theorem}{Součin rozpustnosti}{ Součin rozpustnosti \ilm{K_S} je termodynamická konstanta vyjadřující ochotu soli rozpouÅ¡tět se - tedy disociovat. Pro sůl obecného vzorce \ilm{K_mA_n} je součin rozpustnosti definován takto: \rmm{ K_S = a_{K^{n+}}^m a_{A^{m-}}^n @@ -961,20 +898,18 @@ \rmm{ K_S = [K^{n+}]^m [A^{m-}]^n } - \end{theorem} + } - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace rozpuÅ¡těného \ilm{Ag_3PO_4}} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace rozpuÅ¡těného \ilm{Ag_3PO_4}}{ \begin{align*} c &= \frac{n}{V} \\ c &= \frac{m}{MV} \\ c &= \frac{1}{\num{418,576} \cdot 149} \\ c &= \num{1,604e-5}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Součin rozpustnosti \ilm{Ag_3PO_4}} + \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti \ilm{Ag_3PO_4}}{ \begin{align*} K_S &= [Ag^+]^3 [PO_4^{3-}] \\ K_S &= (3c)^3 c \\ @@ -985,39 +920,34 @@ \infloattext{ Proč se koncentrace \ilm{Ag^+} iontů násobí 3\ilm{\times}? Proto, že z jednoho molu fosforečnanu stříbrného vzniknou tři ionty \ilm{Ag^+}. } - \end{calculation} } \subsubsection{Síran barnatý} \paragraph{Zadání} - Ve 250~\mL nasyceného roztoku síranu barnatého je rozpuÅ¡těno právě \num{0,607}~\si{\milli\gram} této látky. Vypočítejte součin rozpustnosti této soli. \\ + Ve \SI{250}{\mL} nasyceného roztoku síranu barnatého je rozpuÅ¡těno právě \SI{0,607}{\milli\gram} této látky. Vypočítejte součin rozpustnosti této soli. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} \ilm{M(BaSO_4)} && \num{233,39}~\gpm \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Stejný princip jako v předchozím příkladu - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace rozpuÅ¡těného \ilm{BaSO_4}} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace rozpuÅ¡těného \ilm{BaSO_4}}{ \begin{align*} c &= \frac{n}{V} \\ c &= \frac{m}{MV} \\ c &= \frac{\num{6,07e-4}}{\num{233,39} \cdot \num{0,250}} \\ c &= \num{1,040e-5}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Součin rozpustnosti \ilm{BaSO_4}} + \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti \ilm{BaSO_4}}{ \begin{align*} K_S &= [Ba^{2+}] [SO_4^{2-}] \\ K_S &= c^2 \\ K_S &= (\num{1,040e-5})^2 \\ K_S &= \num{1,082e-10} \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{V jakém objemu se zcela rozpustí daná látka} @@ -1028,22 +958,19 @@ \ilm{K_S(HgS)} && \num{5,0e-54} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Spočítáme molární rozpustnost sulfidu rtuÅ¥natého a z ní potřebný objem na rozpuÅ¡tění zadaného množství. - \begin{calculation} - \caption{Molární rozpustnost HgS} + \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost HgS}{ \begin{align*} K_S &= [Hg^+][S^-] \\ K_S &= c^2 \\ c &= \sqrt{K_S} \\ c &= \num{2,236e-27}\:[\mpdm] \\ \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Objem nutný k rozpuÅ¡tění zadaného množství} + \FloatJail{calculation}{Objem nutný k rozpuÅ¡tění zadaného množství}{ \begin{align*} n &= \frac{m}{M} \\ c &= \frac{m}{MV} \\ @@ -1054,7 +981,6 @@ \infloattext{ (Jen tak mimochodem, celkový objem vody v oceánech je \num{1,37e9}~\si{\cubic\kilo\metre}) } - \end{calculation} } \subsection{Výpočet součinu rozpustnosti látek z údajů o jejich rozpustnosti} @@ -1062,19 +988,17 @@ \paragraph{Zadání} \num{0,2608}~\si{\gram} \ilm{Ag_2CrO_4} (M = \ilm{331,77}~\gpm) v 6 litrech nasyceného roztoku. - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Výpočet je stejný jako v \hyperref[prec:ks]{prvním příkladu} - \begin{calculation} - \caption{RozpuÅ¡těná koncentrace \ilm{Ag_2CrO_4}} + + \FloatJail{calculation}{RozpuÅ¡těná koncentrace \ilm{Ag_2CrO_4}}{ \begin{align*} c &= \frac{\num{0,2608}}{6 \cdot \num{331,77}} \\ c &= \num{1,310e-4}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Součin rozpustnosti} + \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti}{ \begin{align*} K_S &= [Ag^+]^2 [CrO_4^{2-}] \\ K_S &= (2c)^2 c \\ @@ -1082,25 +1006,21 @@ K_S &= 4 \cdot \num{1,310e-4}^3 \\ K_S &= \num{8,992e-12} \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{F}} - \FloatJail{ \paragraph{Zadání} \num{0,165}~\si{\milli\gram} \ilm{Pb_3(PO_4)_2} (M = \num{811,58}~\gpm) v 1200 ml nasyceného roztoku. - \begin{calculation} - \caption{RozpuÅ¡těná koncentrace \ilm{Pb_3(PO_4)_2}} + \FloatJail{calculation}{RozpuÅ¡těná koncentrace \ilm{Pb_3(PO_4)_2}}{ \begin{align*} c &= \frac{m}{MV} \\ c &= \frac{\num{1,65e-4}}{\num{811,58} \cdot \num{1,2}} \\ c &= \num{1,694e-7}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Součin rozpustnosti} + \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti}{ \begin{align*} K_S &= [Pb^{2+}]^3[PO_4]^2 \\ K_S &= (3c)^3 (2c)^2 \\ @@ -1109,7 +1029,6 @@ K_S &= 108 \cdot \num{1,694e-6}^5 \\ K_S &= \num{1,506e-32} \end{align*} - \end{calculation} } Zbytek příkladů z této sekce se počítá úplně stejně... @@ -1122,22 +1041,19 @@ \ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} \label{prec:ks_common} Dusičnan draselný nemá s chloridem stříbrným žádný společný ion. Rozpustnost chloridu stříbrného je ovlivněna iontovou silou, která je vyšší přítomností dusičnanu draselného. - \begin{calculation} - \caption{Iontová síla} + \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{ \begin{align*} I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n c_i z_i^2 \\ I &= \frac{1}{2} (\num{0,01} \cdot 1^2 + \num{0,01} \cdot 1^2) \\ I &= \num{0,01}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací} + \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{ \begin{align*} \log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{K^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\ \log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \sqrt{\num{0,01}}}{1 + \sqrt{\num{0,01}}} \\ @@ -1146,10 +1062,9 @@ \gamma_{K^+} &= \num{0,899} \end{align*} \infloattext{\centering Aktivitní koeficient \ilm{NO_3^-} je stejný. } - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Molární rozpustnost} + \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{ \begin{align*} K_S &= [Ag]\gamma_{K^+} [Cl]\gamma_{NO_3^-} \\ K_S &= c^2 \gamma^2 \\ @@ -1160,7 +1075,6 @@ \infloattext{ \textcolor{sovietred}{V oficiálních výsledcích je uvedeno \num{1,41e-5}~\mpdm, což by byla pravda, kdyby se neuvažoval vliv iontové síly \ilm{KNO_3}} } - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{B}} @@ -1170,19 +1084,16 @@ \ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} V roztoku je přítomen dobře rozpustný chlorid draselný. Chlorid stříbrný má proto problém nacpat \uv{svoje} \ilm{Cl^-} do roztoku, protože už jich tam je dost z KCl a bude se proto rozpouÅ¡tět méně. Správně by se jeÅ¡tě měl uvažovat vliv iontové síly, ale v testu to po vás (snad) nikdo nebude chtít. - \begin{calculation} - \caption{Molární rozpustnost} + \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{ \begin{align*} K_S &= [Ag] c_{Cl^-} \\ [Ag] &= \frac{K_S}{c_{Cl^-}} \\ [Ag] &= \frac{\num{2e-10}}{\num{0,01}} \\ [Ag] &= \num{2e-8}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{RozpouÅ¡tění látky při promývání} @@ -1193,22 +1104,19 @@ \ilm{K_S(Tl_2CrO_4)} && \num{9,8e-13} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Spočítá se rozpustnost chromanu thallného v 50~\mL\space vody a výsledek se vynásobí třemi :) - \begin{calculation} - \caption{Molární rozpustnost} + \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{ \begin{align*} K_S &= [Tl^+]^2[CrO_4^-] \\ K_S &= 4c^3 \\ c &= \sqrt{K_S} \\ c &= \num{6,257e-5}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Hmotnost thallia rozpuÅ¡těného v 50~\mL vody} + \FloatJail{calculation}{Hmotnost thallia rozpuÅ¡těného v 50~\mL vody}{ \begin{align*} n_{Tl_2CrO_4} &= cV \\ n_{Tl} &= 2n_{Tl_2CrO_4} \\ @@ -1218,22 +1126,20 @@ m_{Tl, celk} &= 3 m_{Tl} \\ m_{Tl, celk} &= \num{0,00384}\:[\si{\gram}] \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Rozpustnost při daném pH} \paragraph{Zadání} + \label{prec:sol_ph} Vypočítejte rozpustnost \ilm{Al(OH)_3} při pH = 4. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} \ilm{K_S(Al(OH)_3)} && \num{1e-32} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-}, pak se postupuje stejně jako při výpočtu rozpustnosti v příkladě, kdy je v roztoku \hyperref[prec:ks_common]{přítomna další látka mající s danou látkou společný iont}. - \begin{calculation} - \caption{Molární rozpustnost} + \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{ \begin{align*} K_S &= [Al][OH^-]^3 \\ K_S &= c \cdot {10^{-(14-pH)}}^3 \\ @@ -1241,7 +1147,6 @@ c &= \frac{\num{1e-32}}{10^{-30}} \\ c &= \num{1e-2}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{pH, při kterém se začne tvořit sraženina} @@ -1250,15 +1155,13 @@ \paragraph{Zadání} Vypočítejte pH, při němž se z \num{0,1}~\mpdm\space roztoku iontů \ilm{Fe^{3+}} začíná vylučovat hydroxid železitý. - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-} kationů, která je přítomna v roztoku, aby se rozpustilo právě \num{0,1}~\mpdm\space\ilm{Fe^{3+}} iontů. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} \ilm{K_S(Fe(OH)_3)} && \num{2e-39} \end{tabular} - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{OH^-}}{ \begin{align*} K_S &= [Fe^{3+}] [OH^-]^3 \\ K_S &= c_{Fe^{3+}} [OH^-]^3 \\ @@ -1267,7 +1170,6 @@ pH &= 14 + \log \num{2,714e-13} \\ pH &= \num{1,434} \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{B}} @@ -1276,12 +1178,10 @@ \ilm{K_S(Mg(OH)_2)} && \num{1,1e-11} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Stejný jako v \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{předchozím příkladě}. - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{OH^-}}{ \begin{align*} K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\ K_S &= c_{Mg^{2+}} [OH^-]^2 \\ @@ -1289,7 +1189,6 @@ pH &= 14 + \log \num{1,049e-5} \\ pH &= \num{9,021} \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{C}} @@ -1297,29 +1196,25 @@ \paragraph{Zadání} Jaká koncentrace \ilm{Mg^{2+}} v \mpdm\space může existovat v roztoku, který obsahuje \num{0,5}~\mpdm\space \ilm{NH_4Cl} a \num{0,1}~\mpdm\space \ilm{NH_3}? - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Příklad je typově skoro stejný jako \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{dva předchozí}. Známe pH roztoku, takže známe koncentraci \ilm{OH^-}. - \begin{calculation} - \caption{pH roztoku} + \FloatJail{calculation}{pH roztoku}{ \begin{align*} pH &= pKa + \log\frac{c_B}{c_{BHCl}} \\ pH &= -\log\left(\num{-5,55e-11}\right) + \log\frac{\num{0,1}}{\num{0,5}} \\ pH &= \num{8,556} \\ pOH &= \num{5,443} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{Mg^{2+}}} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{Mg^{2+}}}{ \begin{align*} K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\ [Mg^{2+}] &= \frac{K_S}{[OH^-]^2} \\ [Mg^{2+}] &= \frac{\num{1,1e-11}}{\num{1,1e-11}} \\ [Mg^{2+}] &= \num{0,846}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{D}} @@ -1352,19 +1247,18 @@ \ilm{E^\stdpot(HNO_2/NO)} && \num{+1,00}~\si{\volt} \\ \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Vyjdeme z následujících vztahů: - \begin{theorem} - \caption{Gibbsova energie reakce} + + \FloatJail{theorem}{Gibbsova energie reakce}{ \rmm{ \Delta G = -RT \ln K } \rmm{ \Delta G = -nFE} - \end{theorem} + } Stechiometrické koeficienty rovnice vydělíme dvěma. \\ \rmm { I^- + HNO_2 + 2\:H^+ \rightleftharpoons \frac{1}{2}I_2 + NO + H_2O } - \begin{calculation} - \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce} + + \FloatJail{calculation}{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}{ \begin{align*} -RT \ln K &= -nFE \\ \ln K &= \frac{nFE}{RT} \\ @@ -1372,7 +1266,6 @@ K &= \exp \left( \frac{1 \cdot \num{96485} \cdot \left(\num{0,62} - \num{1,00}\right)}{\num{8,314} \cdot 298} \right) \\ K &= \num{3,742e-7} \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad \uv{B}} @@ -1383,21 +1276,19 @@ \ilm{E^\stdpot(\frac{1}{2}Cr_2O_7/Cr^{3+})} && \num{+1,33}~\si{\volt} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Úplně stejně jako \hyperref[redox:k]{prve}. - \begin{calculation} - \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce} + \FloatJail{calculation}{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}{ \begin{align*} K &= \exp \left(\frac{nFE}{RT}\right) \\ K &= \exp \left(\frac{6 \cdot \num{96485} \left(\num{1,33} - \num{1,09}\right)}{\num{8,314} \cdot 298}\right) \\ K &= \num{2,262e24} \end{align*} - \end{calculation} } - + \subsection{Výpočet bodu ekvivalence titrace} + \label{redox:eekv} \paragraph{Zadání} Vypočítejte potenciál bodu ekvivalence při titraci iontů \ilm{Cr^{2+}} jodometricky. \\ \begin{tabular}{l>{=}cr} @@ -1405,33 +1296,29 @@ \ilm{E^\stdpot(Cr^{3+}/Cr^{2+})} && \num{-0,41}~\si{\volt} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Tato redoxní reakce běží dle následující rovnice - \begin{theorem} - \caption{Oxidace \ilm{Cr^{2+}} jódem} + \FloatJail{theorem}{Oxidace \ilm{Cr^{2+}} jódem}{ \rmm{ 2\:Cr^{2+} + I_2 \rightleftharpoons 2\:Cr^{3+} + 2\:I^- } - \end{theorem} + } Potenciál v bodu ekvivalence lze vypočítat \emph{Lutherovým vztahem} - \begin{theorem} - \caption{Lutherův vztah} + + \FloatJail{theorem}{Lutherův vztah}{ \rmm{ E_{ekv} = \frac{n_1 E_1 + n_2 E_2}{n_1 + n_2} } - \end{theorem} + } - \begin{calculation} - \caption{Potenciál v bodu ekvivalence} + \FloatJail{calculation}{Potenciál v bodu ekvivalence}{ \begin{align*} E_{ekv} &= \frac{2 \cdot \num{0,54} + 1 \cdot \num{-0,41}}{1 + 2} \\ E_{ekv} &= \frac{\num{0,67}}{3} \\ E_{ekv} &= \num{0,223}\:[\si{\volt}] \end{align*} - \end{calculation} } \section{Komplexotvorné rovnováhy} @@ -1450,52 +1337,46 @@ \paragraph{Výpočet} Spočítá se koncentrace vÅ¡ech složek roztoku a ze vztahu pro konstantu stability se určí koncentrace nazakomplexovaného kovu. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Analytická koncentrace \ilm{Al^{3+}} iontů} - \[ - n_{Al_2(SO_4)_3} = \frac{m}{M} = \frac{\num{1,666}}{\num{666,41}} = \num{2,500e-3}\:[\si{\mol}] - \] - \[ - n_{Al^{3+}} = 2 \cdot n_{Al_2(SO_4)_3} = \num{5,000e-3}\:[\si{\mol}] - \] - \[ - c_{Al^{3+}} = \frac{n}{V} = \frac{\num{5,000e-3}}{\num{0,2}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm] - \] - \end{calculation} - - \begin{calculation} - \caption{Analytická koncentrace EDTA} - \[ - c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \frac{V_{EDTA,0}}{V_{celk}} = \num{0,1} \cdot \frac{\num{50,00}}{\num{200,00}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm] - \] - \end{calculation} - - - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}} - \begin{align*} - \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\ - [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]} - \end{align*} + \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace \ilm{Al^{3+}} iontů}{ + \[ + n_{Al_2(SO_4)_3} = \frac{m}{M} = \frac{\num{1,666}}{\num{666,41}} = \num{2,500e-3}\:[\si{\mol}] + \] + \[ + n_{Al^{3+}} = 2 \cdot n_{Al_2(SO_4)_3} = \num{5,000e-3}\:[\si{\mol}] + \] + \[ + c_{Al^{3+}} = \frac{n}{V} = \frac{\num{5,000e-3}}{\num{0,2}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm] + \] + } - Protože koncentrace \ilm{Al_2(SO_4)_3} je stejná jako koncentrace EDTA platí, že \ilm{[Al^{3+}] = [Y]} + \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace EDTA}{ + \[ + c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \frac{V_{EDTA,0}}{V_{celk}} = \num{0,1} \cdot \frac{\num{50,00}}{\num{200,00}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm] + \] + } - \begin{align*} - [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ - [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ - [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}} - \end{align*} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}{ + \begin{align*} + \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\ + [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]} + \end{align*} + } - Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA. + Protože koncentrace \ilm{Al_2(SO_4)_3} je stejná jako koncentrace EDTA platí, že \ilm{[Al^{3+}] = [Y]} - \begin{align*} - [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\ - [Al^{3+}] &= \sqrt{\num{1,853e-18}} \\ - [Al^{3+}] &= \num{1,361e-9}\:[\mpdm] - \end{align*} - \end{calculation} - } + \begin{align*} + [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ + [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\ + [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}} + \end{align*} + + Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA. + + \begin{align*} + [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\ + [Al^{3+}] &= \sqrt{\num{1,853e-18}} \\ + [Al^{3+}] &= \num{1,361e-9}\:[\mpdm] + \end{align*} \subsubsection{Příklad \uv{B}} \paragraph{Zadání} @@ -1507,35 +1388,29 @@ \paragraph{Výpočet} Stejný jako v \hyperref[cpx:eqc]{příkladu \uv{A}}. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Analytická koncentrace \ilm{Pb^{2+}}} - \[ - c_{Pb^{2+}} = \frac{\num{0,828}}{\num{331,2} \cdot \num{225,00}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm] - \] - \end{calculation} - - \begin{calculation} - \caption{Analytická koncentrace EDTA} - \[ - c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \cdot \frac{V_{EDTA}}{V_{celk}} = \num{0,02} \cdot \frac{\num{0,125}}{\num{0,225}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm] - \] - \end{calculation} - - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{[Pb^{2+}]}} - \infloattext{ - Výpočet je naprosto identický s výpočtem předchozím, opět se vychází z předpokladu rovnosti \ilm{[Pb^{2+}] = [Y]} a že koncentrace komplexu je rovná koncentraci ligandu. - } + \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace \ilm{Pb^{2+}}}{ + \[ + c_{Pb^{2+}} = \frac{\num{0,828}}{\num{331,2} \cdot \num{225,00}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm] + \] + } - \begin{align*} - [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{[PbY^-]}{\beta(PbY^-)}} \\ - [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{\num{1,111e-2}}{10^{18}}} \\ - [Pb^{2+}] = \sqrt{\num{1,111e-20}} \\ - [Pb^{2+}] = \num{1,054e-10}\:[\mpdm] - \end{align*} + \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace EDTA}{ + \[ + c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \cdot \frac{V_{EDTA}}{V_{celk}} = \num{0,02} \cdot \frac{\num{0,125}}{\num{0,225}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm] + \] + } + + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Pb^{2+}]}}{ + \infloattext{ + Výpočet je naprosto identický s výpočtem předchozím, opět se vychází z předpokladu rovnosti \ilm{[Pb^{2+}] = [Y]} a že koncentrace komplexu je rovná koncentraci ligandu. + } - \end{calculation} + \begin{align*} + [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{[PbY^-]}{\beta(PbY^-)}} \\ + [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{\num{1,111e-2}}{10^{18}}} \\ + [Pb^{2+}] = \sqrt{\num{1,111e-20}} \\ + [Pb^{2+}] = \num{1,054e-10}\:[\mpdm] + \end{align*} } \subsubsection{Příklad \uv{C}} @@ -1548,9 +1423,7 @@ \paragraph{Výpočet} Příklad z kategorie WTF. Není zadán celkový objem roztoku, tudíž spočítat \emph{koncentraci} \ilm{Mg^{2+}} není možné. Nicméně částečně řeÅ¡itelný příklad je. Při výpočtu se vychází z faktu, že nadbytek kovu potlačí disociaci komplexu. Látkové množství nezakomplexovaného \ilm{Mg^{2+}} se spočítá velmi jednoduÅ¡e. Esenciálním krokem je ignorovat nadbytečné informace v zadání (M a \ilm{\beta}). - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Látkové množství \ilm{Mg^{2+}}} + \FloatJail{calculation}{Látkové množství \ilm{Mg^{2+}}}{ \begin{align*} [Mg^{2+}] &= c_{Mg^{2+}} - [MgY^-] \\ [MgY^-] &\approx c_L \\ @@ -1558,10 +1431,9 @@ [Mg^{2+}] &= \num{1,030e-3} - \num{1,000e-3} \\ [Mg^{2+}] &= \num{3,000e-5}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} + } Uvedený výsledek \ilm{[Mg^{2+}] = \num{2e-4}\:\mpdm} by byl pravdivý, kdyby byl celkový objem roztoku \num{150,00}~\mL. - } \subsection{Výpočet podmíněné konstanty stability} \label{cmpl:cond_stab} @@ -1576,32 +1448,25 @@ \paragraph{Výpočet} Příklad je jednodušší, než se vám zadaní snaží vsugerovat. Hodnotu podmíněné konstanty stability je možné určit takto - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{Podmíněná konstanta stability} - \rmm{ - \beta^{'}(ML) = \frac{\beta(ML)}{\alpha(M) \alpha(L)} - } - \begin{tabular}{lc>{\raggedleft\arraybackslash}p{5cm}} - \ilm{\beta(ML)} &-& Disociační konstanta komplexu ML \\ - \ilm{\alpha(M)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu \\ - \ilm{\alpha(L)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu - \end{tabular} - \end{theorem} + \FloatJail{theorem}{Podmíněná konstanta stability}{ + \rmm{ + \beta^{'}(ML) = \frac{\beta(ML)}{\alpha(M) \alpha(L)} } + \begin{tabular}{lc>{\raggedleft\arraybackslash}p{5cm}} + \ilm{\beta(ML)} &-& Disociační konstanta komplexu ML \\ + \ilm{\alpha(M)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu \\ + \ilm{\alpha(L)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu + \end{tabular} + } - Koeficienty vedlejších reakcí je možné vypočítat ze znalosti konstanty stability přísluÅ¡ného vznikajícího komplexu a koncentrace reaktantů, v tomto případě by Å¡lo o koncentrace \ilm{NH_3} a \ilm{H_3O^+} - viz přednáška. Protože v zadání jsou uvedeny přímo koeficienty vedlejších reakcí, smrskne se výpočet na toto + Koeficienty vedlejších reakcí je možné vypočítat ze znalosti konstanty stability přísluÅ¡ného vznikajícího komplexu a koncentrace reaktantů, v tomto případě by Å¡lo o koncentrace \ilm{NH_3} a \ilm{H_3O^+} - viz přednáška. Protože v zadání jsou uvedeny přímo koeficienty vedlejších reakcí, smrskne se výpočet na toto - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Podmíněná konstanta stability} - \begin{align*} - \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \frac{\beta(Ni^{II}-EDTA)}{\alpha(EDTA(H))\alpha(Ni(NH_3))} \\ - \log \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \num{18,6} - (\num{1,0} + \num{4,2}) \\ - \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= 10^{\num{13,4}} - \end{align*} - - \end{calculation} + \FloatJail{calculation}{Podmíněná konstanta stability}{ + \begin{align*} + \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \frac{\beta(Ni^{II}-EDTA)}{\alpha(EDTA(H))\alpha(Ni(NH_3))} \\ + \log \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \num{18,6} - (\num{1,0} + \num{4,2}) \\ + \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= 10^{\num{13,4}} + \end{align*} } \subsection{Výpočet koncentrací vÅ¡ech přítomných forem komplexu} @@ -1617,29 +1482,25 @@ \paragraph{Výpočet} Pro úspěšné vyřeÅ¡ení příkladu je třeba vést v patrnosti pár věcí. Zadané konstanty stability jsou \emph{konsekutivní}, platí pro ně následující - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{konsekutivní konstanta} + \FloatJail{theorem}{konsekutivní konstanta}{ \rmm{ \beta(ML_2) = K(ML) \cdot K(ML_2) } \infloattext{Nebo vyjádřeno obecněji} \rmm{ \beta(ML_n) = \beta(ML_{n-1}) \cdot K(ML_n) } - \end{theorem} + } Dál je vhodné znát tzv. \emph{bilanční vztahy} a jak se vypočítá koncentrace konkrétního komplexu v roztoku: - \begin{theorem} - \caption{Koncentrace jedné formy komplexu} + + \FloatJail{theorem}{Koncentrace jedné formy komplexu}{ \rmm{ [ML_n] = \beta(ML_n) [M][L]^n } - \end{theorem} - \begin{theorem} - \caption{Koncentrace nezakomplexovaného kovu} + } + + \FloatJail{theorem}{Koncentrace nezakomplexovaného kovu}{ \rmm{ [M] = \frac{c_M}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} } - \end{theorem} } - \FloatJail{ Nejdříve je tedy nutné spočítat koncentraci nezakomplexovaného kadmia v roztoku. - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace \ilm{Cd^{2+}}} + + \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{Cd^{2+}}}{ \infloattext{Výpočet složitého součtu ve jmenovateli} \begin{align*} X &= \sum\limits^4_{i=1} \beta_i [L]^i \\ @@ -1654,38 +1515,36 @@ [Cd^{2+}] &= \frac{\num{0,01}}{1 + \num{463,469}} \\ [Cd^{2+}] &= \num{2,153e-5} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Koncentrace jednotlivých forem komplexu} + \FloatJail{calculation}{Koncentrace jednotlivých forem komplexu}{ \begin{align*} [ML] &= \beta(ML)[M][L] &= \num{20,893} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,498e-4}\:[\mpdm] \\ [ML_2] &= \beta(ML_2)[M][L]^2 &= \num{165,959} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{3,573e-3}\:[\mpdm] \\ [ML_3] &= \beta(ML_3)[M][L]^3 &= \num{204,173} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,400e-3}\:[\mpdm] \\ [ML_4] &= \beta(ML_4)[M][L]^4 &= \num{77,444} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{1,560e-3}\:[\mpdm] \end{align*} - \end{calculation} } \subsection{Procentuální zastoupení dané formy komplexu v kovu} \paragraph{Zadání} + \label{cmpl:form_percents} Vypočítejte procentuální zastoupení komplexu ML a komplexu \ilm{ML_2} při koncentraci ligandu [L] = \num{1,63e-3}~\mpdm. \\ \begin{tabular}{lc<{=~}r} \ilm{\log K_1} && \num{3,5} \\ \ilm{\log K_2} && \num{2,5} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} - Postup výpočtu je extrémně podobný předchozímu příkladu. Je třeba znát, co je to konsekutivní konstanta stability a vztah pro poměrné zastoupení komplexu v roztoku \\ - \begin{theorem} - \caption{Poměrné zastoupení komplexu} - \rmm{ \delta_j = \frac{\beta_j [L]^j}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} } - \end{theorem} + Postup výpočtu je extrémně podobný předchozímu příkladu. Je třeba znát, co je to konsekutivní konstanta stability a vztah pro poměrné zastoupení komplexu v roztoku + + \FloatJail{theorem}{Poměrné zastoupení komplexu}{ + \rmm{ \delta_j = \frac{\beta_j [L]^j}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} } + } Nejprve provedeme kalkulaci součtu ve jmenovateli stejně jako v předchozím příkladu - \begin{calculation} - \caption{Zlý dlouhý součet} + + \FloatJail{calculation}{Zlý dlouhý součet}{ \begin{align*} X &= \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i \\ X &= K_1 \cdot [L]^1 + K_1 K_2 \cdot [L]^2 \\ @@ -1694,25 +1553,22 @@ X &= \num{5,155} + \num{2,657} \\ X &= \num{7,812} \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Zastoupení formy ML} + \FloatJail{calculation}{Zastoupení formy ML}{ \begin{align*} \delta_{ML} &= \frac{\beta(ML) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\ \delta_{ML} &= \frac{\num{5,155}}{1 + 7,812} \\ \delta_{ML} &= \num{0,585} \Rightarrow \num{58,5}\:\% \end{align*} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Zastoupení formy \ilm{ML_2}} + \FloatJail{calculation}{Zastoupení formy \ilm{ML_2}}{ \begin{align*} \delta_{ML_2} &= \frac{\beta(ML_2) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\ \delta_{ML_2} &= \frac{\num{2,657}}{1 + 7,812} \\ \delta_{ML_2} &= \num{0,302} \Rightarrow \num{30,2}\:\% \end{align*} - \end{calculation} } Nad výsledkem mírně odliÅ¡ným od referenčního není třeba se znepokojovat, zaokrouhlovací nepřesnost je bestie... @@ -1725,50 +1581,45 @@ \subsection{Test 14. 03. 2014} \subsubsection{Příklad 1.} + \label{tests:1:1} \paragraph{Zadání} Spočítejte pH soli slabé kyseliny a silné báze, má-li tato sůl ve vodném roztoku koncentraci \num{1.5e-5}\si{\mpdm}. \\ \begin{tabular}{lc<{=~}r} \ilm{pK_a} && \num{4.31} \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} - Použijeme vzorec pro výpočet pH této látky, odvození \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{tu}. + Použijeme vzorec pro výpočet pH této látky, odvození \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{tu}. - \FloatJail{ - \begin{calculation} + \FloatJail{calculation}{pH se zanedbáním obou jevů}{ \begin{align*} - [OH^-] &= \sqrt{\frac{K_W}{K_A} C_{NaA}} \\ - [OH^-] &= \sqrt{\num{2.04e-10} \cdot \num{1.5e-5}} \\ - [OH^-] &= \num{5.53e-8} [\si{\mpdm}] \\ + [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{NaA}}} \\ + [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{\num{4,90e-19}}{\num{1.5e-5}}} \\ + [H_3O^+] &= \SI{1,81e-7}{\mpdm} \\ pH &= \num{6.74} \end{align*} - \end{calculation} } - Vychází, že pH je kyselé, což je v případě soli slabé kyseliny a silné báze zřejmá blbost; bude tedy nutné nezanedbat některý extra jev. + \noindent Vychází, že pH je kyselé, což je v případě soli slabé kyseliny a silné báze zřejmá blbost; bude tedy nutné nezanedbat některý extra jev. - \begin{calculation} - \caption{Korekce na úbytek disociací} - \rmm{\frac{[OH^-]}{c_{NaA}} = \frac{\num{5.53e-8}}{\num{1.5e-5}} \approx \num{1e-3}} + \FloatJail{calculation}{Korekce na úbytek disociací}{ + \rmm{\frac{[H_3O^-]}{c_{NaA}} = \frac{\num{1,81e-7}}{\num{1.5e-5}} \approx \num{1e-2}} \infloattext{\centering \checkmark OK} - \end{calculation} - \begin{calculation} - \caption{Korekce na vliv autoprotolýzy} - \rmm{\frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{[H_3O^+]}{K_W} = \frac{10^{-13.48}}{10^{-14}} \approx 10^{0.52}} + } + + \FloatJail{calculation}{Korekce na vliv autoprotolýzy}{ + \rmm{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{3,27e-14}} \approx \num{0,31}} \infloattext{\centering \Stopsign Aha!} - \end{calculation} + } - \begin{calculation} - \caption{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu} + \FloatJail{calculation}{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu}{ \begin{align*} - [OH^-] &= \sqrt{\frac{K_W}{K_A}c_{NaA} + K_W} \\ - [OH^-] &= \sqrt{\num{3.06e-15} + \num{1e-14}} \\ - [OH^-] &= \num{1.14e-7} \\ - pH &= \num{7.05} + [H_3O^-] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{NaA} + K_A}} \\ + [H_3O^-] &= \sqrt{\frac{\num{4,90e-19}}{\num{6,40e-5}}} \\ + [H_3O^-] &= \SI{8,75e-8}{\mpdm} \\ + pH &= \num{7.06} \end{align*} - \end{calculation} - } + } \subsubsection{Příklad 2.} \paragraph{Zadání} @@ -1777,14 +1628,12 @@ \ilm{t_{\frac{1}{2}}} && 5730 let \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Tady je bohužel potřeba tuÅ¡it, jak funguje radiouhlíkové datování. Na zemi se nachází víc izotopů uhlíku, \num{98.89}~\% tvoří uhlík \ilm{C^{12}}, \num{1.1}\% uhlík \ilm{C^{13}} a zbylé \num{0.01}~\% uhlík \ilm{C^{14}}. Izotopy \ilm{C^{12}} a \ilm{C^{13}} jsou stabilní, izotop \ilm{C^{14}} se rozpadá s poločasem uvedeným výše. Rostlina do své struktury zabudovává uhlík při fotosyntéze, poměr jednotlivých izotopů uhlíku v těle rostliny tedy bude úměrný poměru, v jakém se jednotlivé izotopy nacházejí v atmosféře. Mrtvá rostlina žádnou fotosyntézu neprovádí, takže množství uhlíku \ilm{C^{14}} bude pomalu klesat. Toho se dá využít k odhadu stáří rostliny. Radioaktivní rozpad se řídí rychlostní rovnicí 1. řádu - \FloatJail{ - \begin{theorem} - \caption{Rychlostní rovnice 1. řádu} + + \FloatJail{theorem}{Rychlostní rovnice 1. řádu}{ \rmm{c_A = c_{A,0} e^{-kt}} \infloattext{ \centering @@ -1795,47 +1644,41 @@ t && čas, po který reakce běží \end{tabular} } - \end{theorem} } Nejdříve je třeba spočítat rychlostí konstantu. To jde celkem jednoduÅ¡e z poločasu rozpadu - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Rychlostní konstanta rozpadu radioaktivního uhlíku} - \begin{align*} - c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\ - \frac{c_A}{c_{A,0}} &= e^{-kt} \\ - \ln \frac{c_A}{c_{A,0}} &= -kt \\ - \frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{t} &= -k \\ - \frac{\ln \num{0.5}}{\num{5730}} &= -k\:(\text{\num{0.5} proto, že při } t = t_{\frac{1}{2}} \text{se rozpadne právě polovina částic}) \\ - k &= \num{1,210e-4} - \end{align*} - \end{calculation} - } - Fajn, teď stačí dosadit do rovnice. Za \ilm{c_{A,0}} použijeme \ilm{1.0}. Kdyby byly v zadání ty koncentrace zadány absolutně - což nejspíš byly - je to úplně fuk, protože jejich poměr by byl stejný. - \FloatJail{ - \begin{calculation} - \caption{Výpočet stáří sochy} + \FloatJail{calculation}{Rychlostní konstanta rozpadu radioaktivního uhlíku}{ + \begin{align*} + c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\ + \frac{c_A}{c_{A,0}} &= e^{-kt} \\ + \ln \frac{c_A}{c_{A,0}} &= -kt \\ + \frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{t} &= -k \\ + \frac{\ln \num{0.5}}{\num{5730}} &= -k\:(\text{\num{0.5} proto, že při } t = t_{\frac{1}{2}} \text{se rozpadne právě polovina částic}) \\ + k &= \num{1,210e-4} + \end{align*} + } + + \noindent Fajn, teď stačí dosadit do rovnice. Za \ilm{c_{A,0}} použijeme \num{1.0}. Kdyby byly v zadání ty koncentrace zadány absolutně - což nejspíš byly - je to úplně fuk, protože jejich poměr by byl stejný. + + \FloatJail{calculation}{Výpočet stáří sochy}{ \begin{align*} c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\ \frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{-k} &= t \\ \frac{\ln \num{0.854}}{\num{1.210e-4}} &= \num{1304} \end{align*} - \end{calculation} } Protože poločas rozpadu byl zadán v letech, je stáří sochy \num{1304} let. - } \subsubsection{Příklad 3.} \paragraph{Zadání} Vypočítejte součin rozpustnosti \ilm{CaF_2}, je-li koncentrace fluoridových aniontů v roztoku \num{4.273e-4} \si{\mpdm}. - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Dá se vyjít ze vztahu pro součin rozpustnosti. Stačí pouze myslet na to, že z molekuly dané látky může při rozpouÅ¡tění vznikat víc iontů. - \begin{calculation} + + \FloatJail{calculation}{Výpočet součinu rozpustnosti}{ \begin{align*} K_S &= [Ca^{2+}][F^-]^2 \\ K_S &= c \cdot (2c)^2\:(\text{Z jednoho \ilm{CaF_2} vzniknou dva \ilm{F^-}}) \\ @@ -1844,7 +1687,6 @@ K_S &= 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\num{4.273e-4}\right)^3 \\ K_S &= \num{3.9e-11} \end{align*} - \end{calculation} } \subsubsection{Příklad 4.} @@ -1866,43 +1708,237 @@ \ilm{E^f(BrO_3^-/Br^-)} && \num{1.52}\space\si{\volt} \\ \end{tabular} - \FloatJail{ \paragraph{Výpočet} Nejdřív je nutné napsat si rovnici reakce, která jest následující - \FloatJail{ - \begin{theorem} + + \FloatJail{theorem}{Rovnice reakce}{ \rmm{6\: H^+ + 3\: Sb^{3+} + BrO_3^- \rightarrow 3\: Sb^{5+} + Br^- + 3\:H_2O} - \end{theorem} } + Bromičnanový anion je silnějším oxidačním činidlem než antimonitý kation - viz hodnoty formálních redoxních potenciálů - reakce tedy poběží tak, jak je zapsána. Dál je nutné si vÅ¡imnout, že reakce je \emph{za} ekvivalencí, tedy že je tam nadbytek oxidačního činidla. Ze stechiometrie je vidět, že na oxidaci vÅ¡ech antimonitých iontů na antimoničné by stačilo \num{20}\mL\space použitého roztoku bromičnanu. Odvození vzorců je ve slidech z přednášky, takže jen letmo: - \FloatJail{ - \begin{calculation} + \FloatJail{calculation}{Výpočet potenciálu v daném bodě titrace}{ \begin{align*} E &= E^f(BrO_3^-/Br^-) + \frac{\num{0.0592}}{6} \log \frac{c_{BrO_3^-}V_{BrO_3^-} - \frac{1}{3}c_{Sb^{3+}}V_{Sb^{3+}}}{\frac{1}{3}c_{Sb^{3+}}V_{Sb^{3+}}} \\ E &= \num{1.52} + \frac{\num{0.0592}}{6} \log \num{0.25} \\ E &= \num{1.514}\:[\si{\volt}] \end{align*} - \end{calculation} } - Nádhera\dots\space A to pH je v zadání jako proč? \\ + \noindent Nádhera\dots\space A to pH je v zadání jako proč? \\ Korekce na nejednotkovou aktivitu \ilm{H^+} iontů se dá provést tak, že se prostě přepočítá redoxní potenciál přísluÅ¡né reakce. Uvažuje se, že pH a tudíž i koncentrace \ilm{H^+} se během elektrochemické reakce nebude měnit a proto lze jeho vliv přímo zahrnout do redoxního potenciálu. - \FloatJail{ - \begin{calculation} + + \FloatJail{calculation}{Výpočet potenciálu, je-li uvažován vliv pH}{ \begin{align*} E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= E^f(BrO_3^-/Br^-) + \frac{\num{0.0592}}{6} \log [H^+]^6 \\ E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.52} + \frac{\num{0.0592}}{6} \log 10^{-12} \\ E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.52} + \num{0.009867} \cdot \left(-12\right) \\ E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.402}\:[\si{\volt}] \end{align*} - \end{calculation} } Takto přepočtený potenciál by se použil v rovnici výše, vyÅ¡lo by pak \ilm{E = \num{1.396}\:\si{\volt}}. - - } -\end{document} \ No newline at end of file + \subsection{Test 14. 1. 2015} + \subsubsection{Příklad 1.} + \paragraph{Zadání} + Odvoďte vÅ¡eobecnou Brønstedovu rovnici a vypočítejte pH roztoku soli slabé kyseliny a silné báze. Koncentrace soli v roztoku je \ilm{c = \SI{1,5e-5}{\mpdm}}, \ilm{pK\textsubscript*{A} = \num{4,31}} + + \noindent (\emph{Protože jde o stejný příklad jako \hyperref[tests:1:1]{zde}, je k vyřeÅ¡ení použit drobně odliÅ¡ný postup užívající pK\textsubscript*{B} a [OH\textsuperscript*{-}], aby čtenář neupadl nudou do kómatu.}) + + \paragraph{Výpočet} + Zcela standardní příklad na \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{sůl slabé kyseliny a silné báze}. + + \FloatJail{calculation}{Výpočet se zanedbáním obou jevů}{ + \begin{align*} + [OH^-] &= \sqrt{K_B c_{HA}} \\ + [OH^-] &= \sqrt{\num{2,042e-10} \cdot \num{1,5e-5}} \\ + [OH^-] &= \sqrt{\num{3,063e-15}} \\ + [OH^-] &= \num{5,534e-8}\:[\si{\mpdm}] \\ + pOH &= -\log\left(\num{5,534e-8}\right) = \num{7,256} \\ + pH &= 14 - \num{7,256} \\ + pH &= \num{6,743} + \end{align*} + } + + \noindent pH vychází kyselé, což je zřejmá blbost, protože pH solí silné zásady a slabé kyseliny musí být bazické. Je tedy nutné nezanedbat nějaký jev. + + \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{ + \rmm{ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{\num{5,534e-8}}{\num{1,5e-5}} = \num{0,004} } + \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}} + } + + \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{ + \rmm{ \frac{K_W}{[OH^-]^2} = \frac{\num{1e-14}}{\num{3,063e-15}} = \num{3,265} } + \infloattext{\centering Nelze zanedbat \large{\Stopsign}} + } + + \FloatJail{calculation}{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu}{ + \begin{align*} + [OH^-] &= \sqrt{K_b c_{HA} + K_W} \\ + [OH^-] &= \sqrt{\num{2,042e-10} \cdot \num{1,5e-5} + \num{1e-14}} \\ + [OH^-] &= \sqrt{\num{1,306e-14}} \\ + [OH^-] &= \num{1,143}\:[\si{\mpdm}] \\ + pOH &= \num{6,942} \\ + pH &= \num{7,085} + \end{align*} + } + + \subsubsection{Příklad 2.} + \paragraph{Zadání} + Jaká je rozpustnost hydroxidu hlinitého při pH 4? \ilm{K_{S}(Al(OH)_{3}) = \num{1e-32}} + + \paragraph{Výpočet} + Úplně totéž, jako v \hyperref[prec:sol_ph]{cvičných příkladech}. + + \FloatJail{calculation}{Rozpustnost hydroxidu hlinitého při pH 4}{ + \begin{align*} + K_S &= [Ag^{3+}][OH^-]^3 \\ + [Ag^{3+}] &= \frac{K_S}{[OH^-]^3} \\ + [Ag^{3+}] &= \frac{\num{1e-32}}{(10^{-10})^3} \\ + [Ag^{3+}] &= \num{0,01}\:[\si{\mpdm}] + \end{align*} + } + + \subsubsection{Příklad 3.} + \paragraph{Zadání} + NapiÅ¡te rovnici oxidace cínatých iontů dichromanem a vypočítejte potenciál v ekvivalenci + \begin{tabular}{lc<{=~}r} + \ilm{E^\stdpot(Sn^{4+}/Sn^{2+})} && \SI{0.139}{\volt} \\ + \ilm{E^\stdpot({Cr_2O_7}^{2-}/2\:Cr^{3+})} && \SI{1.360}{\volt} \\ + \end{tabular} + + \paragraph{Výpočet} + Nejdříve je nutné zapsat a vyčíslit rovnici reakce. + + \FloatJail{theorem}{Rovnice reakce}{ + \rmm{ 3\:Sn^{2+} + {Cr_2O_7}^{2-} + 14\:H^{+} \rightleftharpoons 3\:Sn^{4+} + 2\:Cr^{3+} + 7\:H_2O } + + \begin{align*} + 2\:Cr^{6+} &\rightarrow 2\:Cr^{3+} &\Rightarrow -6e^{-} &\rightarrow 1 \\ + Sn^{2+} &\rightarrow Sn^{4+} &\Rightarrow +2e^{-} &\rightarrow 3 + \end{align*} + } + + Potenciál v ekvivalenci, totéž jako \hyperref[redox:eekv]{tohle} + \begin{align*} + E_{ekv} &= \frac{n_1 E_1 + n_2 E_2}{n_1 + n_2} \\ + E_{ekv} &= \frac{6 \cdot \num{1,360} + 2 \cdot \num{0,139}}{1 + 3} \\ + E_{ekv} &= \frac{\num{8,438}}{8} \\ + E_{ekv} &= \SI{1,055}{\volt} + \end{align*} + + \subsubsection{Příklad 4.} + \paragraph{Zadání} + \SI{10}{\mL} roztoku piperazinu o koncentraci \SI{0,1}{\mpdm} je titrováno kyselinou chlorovodíkovou o koncentraci \SI{0,5}{\mpdm}. Spočítejte pH roztoku v níže uvedených bodech a načrtněte titrační křivku. + \begin{itemize} + \item Na počátku titrace + \item Po přidání \SI{1,5}{\mL} titračního činidla + \item Po přidání \SI{2,0}{\mL} titračního činidla + \end{itemize} + pK\textsubscript*{B,1} = \num{4,38} \\ + pK\textsubscript*{B,2} = \num{8,69} + + \paragraph{Výpočet} + Příklad je jen variací na jednoduché acidobazické výpočty. + + \FloatJail{calculation}{pH na počátku titrace}{ + Spočítá se jako pH slabé báze a uvažuje se jen pK\textsubscript*{B,1} + + \begin{align*} + [OH^-] &= \sqrt{K_{B,1} c_{B}} \\ + [OH^-] &= \sqrt{\num{4,169e-6}} \\ + [OH^-] &= \num{0,002}\:[\si{\mpdm}] \\ + pH &= \num{11,31} + \end{align*} + } + + \FloatJail{calculation}{pH po přidání \SI{1,5}{\milli\litre} titračního činidla.}{ + + Titrace je v tomto bodě jeÅ¡tě před první ekvivalencí, spočítá se to tedy jako pH pufru slabé báze a silné kyseliny. + \begin{align*} + c_B &= \frac{c_{B,0}V_0 - c_{HCl}V_{HCl}}{V_0 + V_{HCl}} \\ + c_B &= \frac{\num{0,1} \cdot 10 + \num{0,5} \cdot \num{1,5}}{10 + \num{1,5}} \\ + c_B &= \num{0,022}\:[\si{\mpdm}] + \end{align*} + \begin{align*} + c_{BHCl} &= \frac{c_{HCl}V_{HCl}}{V_0 + V_{HCl}} \\ + c_{BHCl} &= \frac{\num{0,5} \cdot \num{1,5}}{\num{11,5}} \\ + c_{BHCl} &= \num{0,065}\:[\si{\mpdm}] + \end{align*} + \begin{align*} + [OH^-] &= K_{B,1} \frac{c_{B}}{c_{BHCl}} \\ + [OH^-] &= \num{4,169e-5} \cdot \frac{\num{0,022}}{\num{0,065}} \\ + [OH^-] &= \num{1,392e-5}\:[\si{\mpdm}] \\ + pH &= \num{9,143} + \end{align*} + } + + \FloatJail{calculation}{pH po přidání \SI{2,0}{\milli\litre} titračního činidla.}{ + + Po přidání \SI{2,0}{\milli\litre} HCl je dosaženo první ekvivalence. (HCl použitá k titraci je 5\ilm{\times} koncentrovanější než titrovaný vzorek). pH v první ekvivalenci při titraci dvousytné slabé báze lze spočítat následovně + \begin{align*} + pOH &= \frac{pK_{B,1} + pK_{B,2}}{2} \\ + pOH &= \frac{\num{4,38} + \num{8,69}}{2} \\ + pOH &= \num{6,54} \\ + pH &= \num{7,47} + \end{align*} + } + + \FloatJail{calculation}{Body, kterými titrační křivka prochází}{ + \begin{center} + \begin{tabular}{lSS} + \rdcol{c}{Bod} & \rdcol{c}{pH} & \rdcol{c}{V [\si{\milli\litre}]} \\ \midrule + Počátek titrace & 11,31 & 0 \\ + Polovina první ekvivalence & 9,62 & 1 \\ + První ekvivalence & 7,47 & 2 \\ + Polovina druhé ekvivalence & 5,31 & 3 \\ + Druhá ekvivalence & 3,29 & 4 \\ + Nadbytek titr. činidla & 1,20 & 6 + \end{tabular} + \end{center} + } + + \subsubsection{Příklad 5.} + \paragraph{Zadání} + Spočítejte procentuální zastoupení komplexu ML a \ilm{ML_2} při koncentraci ligandu \ilm{c_L = \num{2,5e-3}} + \begin{tabular}{lc<{=~}S} + \ilm{\log K_1} && 3,5 \\ + \ilm{\log K_2} && 2,5 + \end{tabular} + + \paragraph{Výpočet} + Totéž co \hyperref[cmpl:form_percents]{zde}, jen koncentrace ligandu je jiná. + + \FloatJail{calculation}{Výpočet hodnoty ve jmenovateli}{ + \begin{align*} + X &= \sum_{i=1}^2 \beta [L]^i \\ + X &= K_1 [L] + K_1 K_2 [L]^2 \\ + X &= 10^{\num{3,5}} \cdot \num{2,5e-3} + 10^{\num{3,5}} \cdot 10^{\num{2,5}} \cdot \left(\num{2,5e-3}\right)^2 \\ + X &= \num{7,907} + \num{6,250} \\ + X &= \num{14,157} + \end{align*} + } + + \FloatJail{calculation}{Výpočet zastoupení formy ML}{ + \begin{align*} + \delta_{ML} &= \frac{\beta_1}{1 + X} \\ + \delta_{ML} &= \frac{10^{\num{3,5}} \cdot \num{2,5e-3}}{\num{15,157}} \\ + \delta_{ML} &= \frac{7,906}{15,157} \\ + \delta_{ML} &= \num{0,522} \Rightarrow \num{52,2}\:\% + \end{align*} + } + + \FloatJail{calculation}{Výpočet zastoupení formy \ilm{ML_2}}{ + \begin{align*} + \delta_{ML_2} &= \frac{\beta_2}{1 + X} \\ + \delta_{ML_2} &= \frac{10^{\num{3,5}} \cdot 10^{\num{2,5}} \cdot \left(\num{2,5e-3}\right)^2}{\num{15,157}} \\ + \delta_{ML_2} &= \frac{6,250}{15,157} \\ + \delta_{ML_2} &= \num{0,412} \Rightarrow \num{41,2}\:\% + \end{align*} + } + + +\end{document}