\usepackage{lastpage}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{mathtools}
-\usepackage{mathspec}
\usepackage{placeins}
+\usepackage{mathspec}
+\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{cancel}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{xevlna}
-\usepackage{xltxtra}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{xcolor}
\setmainlanguage{czech}
\PolyglossiaSetup{czech}{indentfirst=true}
-\setromanfont[Mapping=tex-text]{Minion Pro}
+\defaultfontfeatures{Ligatures={TeX}}
\setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Minion Pro}
-\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201C}{\grqq}
-\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201E}{\glqq}
-
\newcommand{\ilm}[1]{\(\mathrm{#1}\)}
\newcommand{\rmm}[1]{\[\mathrm{#1}\]}
\newcommand{\mpdm}{\mol\per\cubic\deci\metre}
\newcommand{\rdcol}[2]{\multicolumn{1}{#1}{#2}}
\newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textminus}}\circ}}
\newcommand{\infloattext}[1]{\parbox{\linewidth}{\vspace*{\baselineskip}#1}}
-\newcommand{\uv}[1]{\glqq{#1}\grqq}
-\newcommand{\FloatJail}[3]{
+\newcommand{\uv}[1]{„{#1}“}
+\newcommand{\FloatJail}[3]{%
\vspace{\baselineskip}
\begin{minipage}{0.90\textwidth}
% Do not add a caption if no float type is given
\end{minipage}
\vspace{\baselineskip}
}
-\newcommand{\Rmnum}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@}
+\newcommand{\Rmnum}[1]{\MakeUppercase{\romannumeral#1}}
\definecolor{redorange}{rgb}{1,0.2,0}
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0.1,0.5,0.2}
\definecolor{skyblue}{rgb}{0.0,0.1,0.5}
\section{Intro}
\paragraph{}
- Tento stručný dokument o pouhých \pageref{LastPage} stránkách obsahuje vyřešené příklady, jejichž zadání je k dispozici zde (\url{http://web.natur.cuni.cz/~nesmerak/index.html}). Řešení, postupy, odvození a výsledky jsou neoficiální, neverifikované a možná ne vždycky korektní. Příklady nejsou vyřešeny úplně všechny, ale jen ty, kde se řešitel dozví něco nového a které by se mohly objevit v zápočtovém testu.
+ Tento stručný dokument o pouhých~\pageref{LastPage} stránkách obsahuje vyřešené příklady, jejichž zadání je k dispozici zde (\url{http://web.natur.cuni.cz/~nesmerak/index.html}). Řešení, postupy, odvození a výsledky jsou neoficiální, neverifikované a možná ne vždycky korektní. Příklady nejsou vyřešeny úplně všechny, ale jen ty, kde se řešitel dozví něco nového a které by se mohly objevit v zápočtovém testu.
\paragraph{}
Je pravděpodobné, že dokument bude postupně doplňován, opravován a aktualizován. Odkaz ke stažení nejaktuálnější verze najdete \hyperref[intro:info]{zde}. Jakékoliv připomínky, dotazy nebo řešení příkladů, které zde nejsou můžete spamovat na uvedený e-mail.
\begin{center}
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{\left(x^n\right)^m} && \ilm{x^{m \cdot n}} \\
- \ilm{\log 10^a + \log 10^b} && \ilm{a + b} \\
+ \ilm{\log{10^a} + \log{10^b}} && \ilm{a + b} \\
\textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{[H_3O^+][OH^-]} \\
\textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_A \cdot K_B} \\
- \ilm{a \cdot \left( \ln X \right)} && \ilm{\ln \left(X\right)^a}
+ \ilm{a \cdot \left(\ln{X} \right)} && \ilm{\ln{\left(X\right)^a}}
\end{tabular}
\end{center}
\indent tak ne, že se tím necháte zaskočit.
\paragraph{}
- Příjemnou zábavu...
+ Příjemnou zábavu\ldots
- \begin{center}
- \label{intro:info}
+ \begin{center}\label{intro:info}
\begin{tabular}{b{3cm}>{\raggedleft\arraybackslash}p{11cm}}
\textbf{Verze} & 1.5.1 (\today) \\
\textbf{E-mail} & \href{mailto:madcatxster@devoid-pointer.net}{madcatxster@devoid-pointer.net} \\
\textbf{Download} & \url{http://devoid-pointer.net/tzach/tzach_problems_solved.pdf} \\
- \textbf{\XeLaTeX ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\
- \textbf{Poznámky} & Některé PDF prohlížeče (např. integrovaný prohlížeč Firefoxu) nezobrazují matematické výrazy správně. \\
+ \textbf{\LaTeX{} ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\
+ \textbf{Poznámky} & Některé PDF prohlížeče (např.\ integrovaný prohlížeč Firefoxu) nezobrazují matematické výrazy správně. \\
\multicolumn{2}{l}{\textbf{Changelog}} \\
- \multicolumn{2}{l}{
+ \multicolumn{2}{l}{%
\begin{tabular*}{\linewidth}{l>{-}cp{11cm}}
1.5.1 && Drobné korekce formátování \\
1.5.0 && Příklad na výpočet pH roztoku fenolu nebyl vyřešen správně \\
&& Opraveno chybně dosazené [OH\textsuperscript*{-}] v příkladu~\ref{prec:ks_buffer_ph} \\
&& Opraven prohozený čitatel s jmenovatelem ve výpočtu kontroly autoprotolýzy v příkladu~\ref{bonus:c_1} \\
&& Upraveno zadání a vysvětlení příkladu~\ref{bonus:b_3}, aby to dávalo aspoň nějaký smysl \\
- 1.3.1 && V testu ze 14. 1. 2015, příkladu 5. chyběla jednotka u koncentrace ligandu \\
+ 1.3.1 && V testu ze 14.\ 1.\ 2015, příkladu 5.\ chyběla jednotka u koncentrace ligandu \\
&& Nesmyslně uvedeno, že \ilm{K_W = K_A \cdot K_A} \\
&& Přidán komentář k testu z 14. 3. 2014, příkladu 3. \\
1.3.0 && Přidáno zadání testu z 14. 1. 2015 \\
\paragraph{Výpočet}
Pro výpočet je nutné znát definici pH
- \FloatJail{theorem}{Definice pH}{
- \rmm{ pH = -\log a_{H_3O^+} }
- \infloattext{
+ \FloatJail{theorem}{Definice pH}{%
+ \rmm{pH = -\log{a_{H_3O^+}}}
+ \infloattext{%
\centering Velmi často se užívá zjednodušené definice
}
- \rmm{ pH = -\log [H_3O^+] }
+ \rmm{pH = -\log{[H_3O^+]}}
}
- Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny.
+ \noindent Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny.
- \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{
+ \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{%
\begin{align*}
pH &= -\log [H_3O^+] \\
pH &= -\log c_{HNO_3} \\
\end{align*}
}
- Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto
+ \noindent Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto
- \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{
+ \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{%
\begin{align*}
I &= \frac{1}{2} \sum\limits^n_{i=1} c_i z_i^2 \\
I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_3O^+} z_{H_3O^+}^2 + c_{NO_3^-} + z_{NO_3^-}^2\right) \\
\end{align*}
}
- \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{
+ \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{%
\begin{align*}
\log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{H_3O^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\
\log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \num{3,162e-2}}{\num{1,032}} \\
\end{align*}
}
- \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{
+ \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{%
\begin{align*}
pH &= -\log \left([H_3O^+] \cdot \gamma_{H_3O^+}\right) \\
pH &= -\log \left(\num{1,0e-3} \cdot \num{0,964}\right) \\
\end{align*}
}
- \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice - kyselina octová}
- \label{ph:weak_acid}
+ \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice-kyselina octová}\label{ph:weak_acid}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \SI{1,0e-2}{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\paragraph{Výpočet}
Z rovnice disociace kyseliny sestavíme vztah pro disociační konstantu. Vhodnou úpravou tohoho vztahu získáme vztah mezi disociační konstantou slabé kyseliny a pH jejího roztoku.
- \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{%
\rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- }
}
- \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{
+ \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{%
\rmm{ K_A = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} }
Zjednodušeně pomocí koncentrací
\rmm{ K_A = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} }
}
- \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{
- \infloattext{
+ \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{%
+ \infloattext{%
\centering
\textbf{Zjednodušující předpoklady}\\
Z rovnice disociace je patrné, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} \\
Dále můžeme uvažovat, že \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}}
}
\rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{[HA]}{[A^-]} }
- \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} }
+ \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}-\textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} }
}
\FloatJail{}{}{
\infloattext{
- \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}} - autoprotolýza:\\
+ \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}}-autoprotolýza:\\
Z předpokladu, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} to vypadá, jako by veškeré \ilm{H_3O^+} ionty v roztoku pocházely jen z disociace kyseliny. To ale není pravda, protože jde o vodný roztok kyseliny a voda disociuje také - viz \emph{autoprotolýza}. Aby předpoklad \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} fakt platil, je třeba odečíst ty \ilm{H_3O^+} ionty, které autoprotolýzou vznikly. Všechny \ilm{H_3O^+} vzniklé autoprotolýzou mají protiont \ilm{OH^-}, viz rovnice autoprotolýzy; disociací kyseliny žádné \ilm{OH^-} ionty nevznikají. Proto je potřeba od celkové koncentrace \ilm{H_3O^+} odečíst koncentraci iontů \ilm{OH^-}. Výsledek pak udává koncentraci \ilm{H_3O^+} iontů, které vznikly pouze disociací kyseliny.
}
\infloattext{
- \textcolor{darkgreen}{\ilm{[A^-]}} - úbytek disociací:\\
- Úvaha \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} se nám snaží podsunout představu, že koncentrace nedisociované formy kyseliny je stejná jako celková (analytická) koncentrace kyseliny v roztoku. To je zřejmá blbost - kdyby to tak bylo, kyselina by nedisociovala vůbec. Pro určení skutečné [HA] je třeba od analytické koncentrace odečíst koncentraci kyseliny, co rozdisociovala. Výraz \ilm{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}} vypadá ve finální podobě po dosazení za \ilm{[A^-]} takto: \ilm{c_{HA} - [H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}.
+ \textcolor{darkgreen}{\ilm{[A^-]}}-úbytek disociací:\\
+ Úvaha \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} se nám snaží podsunout představu, že koncentrace nedisociované formy kyseliny je stejná jako celková (analytická) koncentrace kyseliny v roztoku. To je zřejmá blbost-kdyby to tak bylo, kyselina by nedisociovala vůbec. Pro určení skutečné [HA] je třeba od analytické koncentrace odečíst koncentraci kyseliny, co rozdisociovala. Výraz \ilm{c_{HA}-\textcolor{darkgreen}{[A^-]}} vypadá ve finální podobě po dosazení za \ilm{[A^-]} takto: \ilm{c_{HA}-[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}.
}
- \infloattext{
+ \infloattext{%
Při výpočtech se postupuje tak, že oba výše zmíněné nedostatky nejdříve směle ignorujeme a následně zkontrolujeme, jak masivní chyby jsme se těmito zanedbáními dopustili.
}
}
- \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{
+ \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{%
\begin{align*}
- [H_3O^+] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\
- [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\
+ [H_3O^{+}] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\
+ {[H_3O^+]}^2 &= K_A c_{HA} \\
[H_3O^+] &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\
pH &= -\log \left(\sqrt{K_A c_{HA}}\right) \\
pH &= -\log \sqrt{10^{\num{-4,75}} \cdot \num{1,0e-2}} \\
Ověříme, zda použitá zjednodušení nezpůsobila kataklyzmatickou odchylku
- \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
- \textcolor{skyblue}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{%
+ \textcolor{skyblue}{%
\[
K_W = [H_3O^+][OH^-] = 10^{-14}
\]
}
\[
- \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{\textcolor{skyblue}{K_W}}{\textcolor{skyblue}{[H_3O^+]}[H_3O^+]} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-3,375}}\right)^2} = 10^{\num{-7,250}}
+ \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{\textcolor{skyblue}{K_W}}{\textcolor{skyblue}{[H_3O^+]}[H_3O^+]} = \frac{10^{-14}}{{\left(10^{\num{-3,375}}\right)}^2} = 10^{\num{-7,250}}
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
\ilm{10^{\num{-7,250}}} je menší než \num{0,05}, vliv autoprotolýzy není třeba uvažovat \large{\checkmark}
}
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{%
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-3,375}}}{\num{1e-2}} = \num{0,042}
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
\num{0,042} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací taky netřeba řešit \large{\checkmark}
}
}
- \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice - fenol}
+ \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice-fenol}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fenolu o koncentraci \SI{1,0e-4}{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\paragraph{Výpočet}
Začátek výpočtu je úplně stejný jako v \hyperref[ph:weak_acid]{předchozím příkladě}.
- \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{%
\begin{align*}
- [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\
+ {[H_3O^+]}^2 &= K_A c_{HA} \\
pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\
pH &= -\log \sqrt{\num{1,047e-14}} \\
pH &= \num{6,990}
\end{align*}
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{%
\[
- \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0
+ \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{{[H_3O^+]}^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
1 je poněkud víc než \num{0,05}, autoprotolýzu je třeba uvažovat \large{\Stopsign}
}
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{%
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-6,990}}}{\num{1e-4}} = \num{0,001}
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
\num{0,001} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací je v pohodě \large{\checkmark}
}
Taktické doporučení:\\
Pokud by vám někdy vyšlo, že nelze zanedbat ani jedno, s nejvyšší pravděpodobností jste někde udělali chybu. Pokus o uvažování obou jevů by vedl na kubickou rovnici, jejíž řešení je diplomaticky řečeno \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function\#General_formula_for_roots}{poněkud obtížnější}.
- \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{
- \infloattext{
+ \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{%
+ \infloattext{%
\centering
Upravená rovnice uvažující autoprotolýzu
}
- \rmm{
- [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]}
+ \rmm{%
+ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]-[OH^-]}
}
\rmm{
- [H_3O^+]^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA}
+ {[H_3O^+]}^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA}
}
\rmm{
[H_3O^+] = \sqrt{K_A c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}}
\end{align*}
}
- \subsection{Výpočet pH slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice - dimethylamin}
- \label{ph:weak_base}
+ \subsection{Výpočet pH slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice-dimethylamin}\label{ph:weak_base}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku dimethylaminu o koncentraci \SI{1,0e-3}{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_B}(dimethylamin) && \num{3,02}
+ \ilm{pK_B} (dimethylamin) && \num{3,02}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
Principiálně shodný se \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinou}.
- \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{%
\rmm{ B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^- }
}
Z této rovnice můžeme vymyslet vztah pro disociační konstantu
- \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{
+ \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{%
\rmm{ K_B = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} }
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
Z té chceme vyjádřit \ilm{[OH^-]}
}
- \rmm{
+ \rmm{%
[OH^-] = K_B \frac{[B]}{[BH^+]}
}
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
A protože \ilm{[BH^+] \approx [OH^-]} a \ilm{[B] \approx c_B}
}
- \rmm{
+ \rmm{%
[OH^-] = K_B \frac{c_B}{[OH^-]}
}
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
Kdyby se uvažoval úbytek disociací a autoprotolýza, vypadala by rovnice takto:
}
- \rmm{
- [OH^-] = K_B \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ \rmm{%
+ [OH^-] = K_B \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-]-\textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
}
}
- \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{%
\begin{align*}
- [OH^-]^2 &= K_B c_B \\
+ {[OH^-]}^2 &= K_B c_B \\
[OH^-] &= \sqrt{\num{9,550e-7}} \\
[OH^-] &= \SI{9,772e-4}{\mpdm} \\
pOH &= \num{3,01} \\
\end{align*}
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
- \infloattext{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{%
+ \infloattext{%
\centering
Bacha, zlomek je obráceně než při počítání s kyselinou
}
\[
- \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{K_W}{[OH^-]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{9,550e-7}} \approx 10^{-8}
+ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{K_W}{{[OH^-]}^2} = \frac{10^{-14}}{\num{9,550e-7}} \approx 10^{-8}
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
V pohodě \large{\checkmark}
}
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{%
\[
\frac{[OH^-]}{c_B} = \frac{\num{9,772e-4}}{\num{0.977}} \approx \num{1}
\]
- \infloattext{
+ \infloattext{%
\centering
Nutno uvažovat úbytek disociací \large{\Stopsign}
}
}
- \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[OH^-]} s vlivem úbytku disociace}{
- \rmm{
- [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[OH^-]} s vlivem úbytku disociace}{%
+ \rmm{%
+ [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
}
\infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat }
- \rmm{
- [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}
+ \rmm{%
+ [OH^-] = K_{B} \frac{c_{B}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}}}{[OH^-] + \textcolor{redorange}{\cancel{[H_3O^+]}}}
}
- \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice} }
- \rmm{
- [OH^+]^2 + K_{B}[OH^-] - K_{b} c_{B} = 0
+ \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice}}
+ \rmm{%
+ [OH^+]^2 + K_{B}[OH^-]-K_{b} c_{B} = 0
}
\begin{align*}
x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
}
- \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny - EDTA}
- \paragraph{Zadání}
- \label{ac:edta}
+ \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny-EDTA}
+ \paragraph{Zadání}\label{ac:edta}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku EDTA o koncentraci \SI{1,0e-2}{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_{A,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\
- \ilm{pK_{A,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\
- \ilm{pK_{A,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\
- \ilm{pK_{A,4}}(EDTA) && \num{10,26}
+ \ilm{pK_{A,1}} (EDTA) && \num{1,99} \\
+ \ilm{pK_{A,2}} (EDTA) && \num{2,67} \\
+ \ilm{pK_{A,3}} (EDTA) && \num{6,18} \\
+ \ilm{pK_{A,4}} (EDTA) && \num{10,26}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
Brønstedova rovnice by se musela odvodit pro každý stupeň disociace. Platí následující vztahy:
- \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{
- \rmm { [H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i }
+ \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{%
+ \rmm{[H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i}
}
Pokud je \ilm{K_{A,1} >> K_{A,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{A,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{A,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády.
- \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{
- \rmm{
- [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{%
+ \rmm{%
+ [H_3O^+]_{celk} \approx{} [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
}
}
V opačném případě je nutné uvažovat i další disociační stupeň.
- \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{
- \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} }
- \rmm{ [H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-] }
- \rmm{ [H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}] }
- \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} }
- \rmm{ K_{A,2} = [H_3O^+]_2 }
+ \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{%
+ \rmm{K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]}}
+ \rmm{[H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-]}
+ \rmm{[H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}]}
+ \rmm{K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1}}
+ \rmm{K_{A,2} = [H_3O^+]_2}
}
\textbf{Výpočet pH EDTA ze zadání}
\begin{enumerate}
\item Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by šlo o nudnou jednosytnou kyselinu
- \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{%
\begin{align*}
- [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\
- [H_3O^+]_1 &= \SI{1,015e-2}{\mpdm}
+ {[H_3O^+]}_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\
+ {[H_3O^+]}_1 &= \SI{1,015e-2}{\mpdm}
\end{align*}
}
Ověříme použitelnost obou zjednodušení
- \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{%
\[
- \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx 10^{-10}
+ \frac{K_W}{{[H_3O^+]}^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx{} 10^{-10}
\]
\infloattext{\centering OK \large{\checkmark} }
}
- \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{%
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{\num{1,015e-2}}{\num{1e-2}} = \num{1,015}
\]
\item Provedeme korekci na úbytek disociací
- \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{%
\rmm{
- [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
}
\infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat }
\rmm{
- [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}
+ [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA}-\cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}
}
- \infloattext{\centering Řešení je úplně stejné jako \hyperref[ph:weak_base]{zde}, jen se místo \ilm{K_{B}} a \ilm{c_{B}} dosazují \ilm{K_{A}} a \ilm{c_{HA}} }
+ \infloattext{\centering Řešení je úplně stejné jako \hyperref[ph:weak_base]{zde}, jen se místo \ilm{K_{B}} a \ilm{c_{B}} dosazují \ilm{K_{A}} a \ilm{c_{HA}}}
\rmm{
- [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+] - K_{A,1} c_{HA} = 0
+ [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+]-K_{A,1} c_{HA} = 0
}
\begin{align*}
x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
\FloatJail{calculation}{Vliv druhého disociačního stupně}{
\begin{align*}
- [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{A,2} \\
- [H_3O^+]_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\
- [H_3O^+]_{celk} &= \SI{8,358e-3}{\mpdm} \\
+ {[H_3O^+]}_{celk} &= {[H_3O^+]}_1 + K_{A,2} \\
+ {[H_3O^+]}_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\
+ {[H_3O^+]}_{celk} &= \SI{8,358e-3}{\mpdm} \\
pH &= -\log \num{8,358e-3} \\
pH &= \num{2,078}
\end{align*}
\noindent (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování všech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11})
- \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady - octan sodný}
- \label{ph:weak_acid_strg_base}
+ \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady-octan sodný}\label{ph:weak_acid_strg_base}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku octanu sodného o koncentraci \SI{1e-2}{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_A(CH_3COOH)} && \num{4,75}
+ \ilm{pK_A (CH_3COOH)} && \num{4,75}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
V principu jde o totéž jako v případě \hyperref[ph:weak_acid]{slabé kyseliny}. Zase se sestaví vztah pro disociační konstantu, ze kterého se vyjádří koncentrace \ilm{H_3O^+} iontů.
- \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{
- \rmm{
- NaA \rightleftharpoons Na^+ + A^-
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{%
+ \rmm{%
+ NaA \rightleftharpoons{} Na^+ + A^-
}
- \rmm{
- A^- + H_2O \rightleftharpoons HA + OH^-
+ \rmm{%
+ A^- + H_2O \rightleftharpoons{} HA + OH^-
}
\infloattext{
Kation silné zásady bude vždycky v disociované formě, což se anionu slabé kyseliny moc nelíbí. Aby mohl anion slabé kyseliny \uv{naasociovat} zpátky, musí k tomu sebrat \ilm{H^+} z vody. Z tohoto důvodu jsou roztoky solí silné báze a slabé kyseliny zásadité.
\FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}{
\begin{align*}
- \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\
- [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]}
+ \beta{} &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\
+ [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\beta{} (AlY^-) [Y]}
\end{align*}
}
\begin{align*}
[Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
- [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
+ {[Al^{3+}]}^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
[Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}}
\end{align*}
- Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA.
+ Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA
\begin{align*}
[Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\
git://gitweb.devoid-pointer.net / tzach_problems.git / commitdiff