\usepackage{amssymb}
\usepackage{booktabs}
+\usepackage{caption}
\usepackage{color}
\usepackage{commath}
\usepackage{float}
\floatstyle{ruled}
\newfloat{calculation}{!ht}{calc}
\floatname{calculation}{Výpočet}
+\captionsetup[calculation]{format=hang,labelfont=bf,justification=RaggedRight,position=above,hypcap=false}
\newfloat{theorem}{!ht}{theor}
\floatname{theorem}{Rovnice}
+\captionsetup[theorem]{format=hang,labelfont=bf,justification=RaggedRight,position=above,hypcap=false}
\setmainlanguage{czech}
\PolyglossiaSetup{czech}{indentfirst=true}
\newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textminus}}\circ}}
\newcommand{\infloattext}[1]{\parbox{\linewidth}{\vspace*{\baselineskip}#1}}
\newcommand{\uv}[1]{\glqq{#1}\grqq}
-\newcommand{\FloatJail}[1]{\FloatBarrier #1 \FloatBarrier}
+\newcommand{\FloatJail}[3]{
+\vspace{\baselineskip}
+\parbox[c]{0.90\textwidth}{
+ \hrule
+ \vspace*{0.3\baselineskip}
+ \captionof{#1}{#2}
+ \hrule
+ \vspace*{0.3\baselineskip}
+ #3
+ \hrule
+}
+\vspace{\baselineskip}
+}
+\newcommand{\FloatJailNoCap}[1]{\vspace*{\baselineskip} \begin{minipage}{0.9\textwidth} {#1} \end{minipage} \vspace*{\baselineskip}}
\newcommand{\Rmnum}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@}
\definecolor{redorange}{rgb}{1,0.2,0}
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0.1,0.5,0.2}
{\color{#1}%
\fbox{\color{currentcolor}#2}}%
}
-\widowpenalty=1000
-\clubpenalty=1000
\title{Řešené příklady z Teoretických základů analytické chemie}
\date{}
Je pravděpodobné, že dokument bude postupně doplňován, opravován a aktualizován. Odkaz ke stažení nejaktuálnější verze najdete \hyperref[intro:info]{zde}. Jakékoliv připomínky, dotazy nebo řešení příkladů, které zde nejsou můžete spamovat na uvedený e-mail.
\paragraph{}
- Při řešení příkladů jsou použity některé podlé matematické hacky, např. \\
+ Při řešení příkladů jsou použity některé podlé matematické hacky, např.
\begin{center}
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{\left(x^n\right)^m} && \ilm{x^{m \cdot n}} \\
\ilm{\log 10^a + \log 10^b} && \ilm{a + b} \\
\textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{[H_3O^+][OH^-]} \\
- \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_a \cdot K_b}
+ \textcolor{skyblue}{\ilm{K_W}} && \ilm{K_A \cdot K_A}
\end{tabular}
\end{center}
- tak ne, že se tím necháte zaskočit.
+ \indent tak ne, že se tím necháte zaskočit.
\paragraph{}
Příjemnou zábavu...
- \begin{table}[b]
+ \begin{center}
\label{intro:info}
- \centering
\begin{tabular}{b{3cm}>{\raggedleft\arraybackslash}p{11cm}}
- \textbf{Verze} & 1.2.1 (\today) \\
+ \textbf{Verze} & 1.3.0 (\today) \\
\textbf{E-mail} & \href{mailto:madcatxster@devoid-pointer.net}{madcatxster@devoid-pointer.net} \\
\textbf{Download} & \url{http://devoid-pointer.net/tzach/tzach_problems_solved.pdf} \\
\textbf{\XeLaTeX ový zdroják} & \url{http://gitweb.devoid-pointer.net/?p=tzach_problems.git} \\
\multicolumn{2}{l}{\textbf{Changelog}} \\
\multicolumn{2}{l}{
\begin{tabular*}{\linewidth}{l>{-}cp{11cm}}
+ 1.3.0 && Přidáno zadání testu z 14. 1. 2015 \\
1.2.1 && Opraven chybný vzorec výpočtu kvadratické rovnice v příkladu 2.5 \\
&& Opravena definice součinu rozpustnosti \\
1.2.0 && Přidáno zadání testu z 14. 3. 2014 \\
1.1.2 && Použít korektnější výraz \emph{konstanta stability} místo \emph{disociační konstanta}, doplnit zadání u příkladu 5.2 \\
1.1.1 && V příkladu na pH kyselého pufru chybně uveden střední aktivitní koeficient \\
- 1.1 && Oprava spousty překlepů a dalších drobných nedostatků
+ 1.1.0 && Oprava spousty překlepů a dalších drobných nedostatků
\end{tabular*}
}
\end{tabular}
- \end{table}
+ \end{center}
- \FloatBarrier
\pagebreak
\section{Protolytické rovnováhy}
\paragraph{Zadání}
Vypočítejte pH roztoku kyseliny dusičné o koncentraci \num{1,0e-3}~\mpdm. Jaký vliv má na přesnost výpočtu iontová síla roztoku?
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Pro výpočet je nutné znát definici pH
- \begin{theorem}
- \caption{Definice pH}
+
+ \FloatJail{theorem}{Definice pH}{
\rmm{ pH = -\log a_{H_3O^+} }
\infloattext{
\centering Velmi často se užívá zjednodušené definice
}
\rmm{ pH = -\log [H_3O^+] }
- \end{theorem}
+ }
Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny.
- \begin{calculation}
- \caption{pH bez vlivu iontové síly}
+
+ \FloatJail{calculation}{pH bez vlivu iontové síly}{
\begin{align*}
pH &= -\log [H_3O^+] \\
pH &= -\log c_{HNO_3} \\
pH &= -\log \num{1e-3} \\
pH &= \num{3,000}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto
- \begin{calculation}
- \caption{Iontová síla}
+
+ \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{
\begin{align*}
I &= \frac{1}{2} \sum\limits^n_{i=1} c_i z_i^2 \\
I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_3O^+} z_{H_3O^+}^2 + c_{NO_3^-} + z_{NO_3^-}^2\right) \\
I &= \frac{1}{2} \num{2,0e-3} \\
I &= \num{1,0e-3}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
- \begin{calculation}
- \caption{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{
\begin{align*}
\log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{H_3O^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\
\log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \num{3,162e-2}}{\num{1,032}} \\
\gamma_{H_3O^+} &= 10^{\num{-0,016}} \\
\gamma_{H_3O^+} &= \num{0,964}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{pH s uvažováním iontové síly}
+ \FloatJail{calculation}{pH s uvažováním iontové síly}{
\begin{align*}
pH &= -\log \left([H_3O^+] \cdot \gamma_{H_3O^+}\right) \\
pH &= -\log \left(\num{1,0e-3} \cdot \num{0,964}\right) \\
pH &= \num{3,016}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice - kyselina octová}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \num{1,0e-2}~\mpdm. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_a} && \num{4,75}
+ \ilm{pK_A} && \num{4,75}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
Z rovnice disociace kyseliny sestavíme vztah pro disociační konstantu. Vhodnou úpravou tohoho vztahu získáme vztah mezi disociační konstantou slabé kyseliny a pH jejího roztoku.
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{Rovnice disociace}
- \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- }
- \end{theorem}
-
- \begin{theorem}
- \caption{Disociační konstanta}
- \rmm{ K_a = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} }
- \centering
- Zjednodušeně pomocí koncentrací
- \rmm{ K_a = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} }
- \end{theorem}
- \begin{theorem}
- \caption{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace}{
+ \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- }
+ }
+
+ \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta}{
+ \rmm{ K_A = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} }
+ Zjednodušeně pomocí koncentrací
+ \rmm{ K_A = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} }
+ }
+
+ \FloatJail{theorem}{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}{
\infloattext{
\centering
\textbf{Zjednodušující předpoklady}\\
Z rovnice disociace je patrné, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} \\
Dále můžeme uvažovat, že \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}}
}
- \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{[HA]}{[A^-]} }
- \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} }
+ \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{[HA]}{[A^-]} }
+ \rmm{ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} }
+ }
+ \FloatJailNoCap{
\infloattext{
\textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}} - autoprotolýza:\\
Z předpokladu, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} to vypadá, jako by veškeré \ilm{H_3O^+} ionty v roztoku pocházely jen z disociace kyseliny. To ale není pravda, protože jde o vodný roztok kyseliny a voda disociuje také - viz \emph{autoprotolýza}. Aby předpoklad \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} fakt platil, je třeba odečíst ty \ilm{H_3O^+} ionty, které autoprotolýzou vznikly. Všechny \ilm{H_3O^+} vzniklé autoprotolýzou mají protiont \ilm{OH^-}, viz rovnice autoprotolýzy; disociací kyseliny žádné \ilm{OH^-} ionty nevznikají. Proto je potřeba od celkové koncentrace \ilm{H_3O^+} odečíst koncentraci iontů \ilm{OH^-}. Výsledek pak udává koncentraci \ilm{H_3O^+} iontů, které vznikly pouze disociací kyseliny.
\infloattext{
Při výpočtech se postupuje tak, že oba výše zmíněné nedostatky nejdříve směle ignorujeme a následně zkontrolujeme, jak masivní chyby jsme se těmito zanedbáními dopustili.
}
- \end{theorem}
- }
+ }
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{pH kyseliny octové ze zadání}
+ \FloatJail{calculation}{pH kyseliny octové ze zadání}{
\begin{align*}
- [H_3O^+] &= K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\
- [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\
- [H_3O^+] &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
- pH &= -\log \left(\sqrt{K_a c_{HA}}\right) \\
+ [H_3O^+] &= K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\
+ [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\
+ pH &= -\log \left(\sqrt{K_A c_{HA}}\right) \\
pH &= -\log \sqrt{10^{\num{-4,75}} \cdot \num{1,0e-2}} \\
pH &= -\log \sqrt{\num{1,778e-7}} \\
pH &= \num{3,375}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Ověříme, zda použitá zjednodušení nezpůsobila kataklyzmatickou odchylku
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
\textcolor{skyblue}{
\[
K_W = [H_3O^+][OH^-] = 10^{-14}
\centering
\ilm{10^{\num{-7,250}}} je menší než \num{0,05}, vliv autoprotolýzy není třeba uvažovat \large{\checkmark}
}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-3,375}}}{\num{1e-2}} = \num{0,042}
\]
\centering
\num{0,042} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací taky netřeba řešit \large{\checkmark}
}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet koncentrace slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice - fenol}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fenolu o koncentraci \num{1,0e-4} \mpdm. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_a} && \num{9,98}
+ \ilm{pK_A} && \num{9,98}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Začátek výpočtu je úplně stejný jako v \hyperref[ph:weak_acid]{předchozím příkladě}.
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH}{
\begin{align*}
- [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\
- pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ [H_3O^+]^2 &= K_A c_{HA} \\
+ pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\
pH &= -\log \sqrt{\num{1,047e-14}} \\
pH &= \num{6,990}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
\[
\frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0
\]
\centering
1 je poněkud víc než \num{0,05}, autoprotolýzu je třeba uvažovat \large{\Stopsign}
}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-6,990}}}{\num{1e-4}} = \num{0,001}
\]
\centering
\num{0,001} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací je v pohodě \large{\checkmark}
}
- \end{calculation}
+ }
+
Taktické doporučení:\\
Pokud by vám někdy vyšlo, že nelze zanedbat ani jedno, s nejvyšší pravděpodobností jste někde udělali chybu. Pokus o uvažování obou jevů by vedl na kubickou rovnici, jejíž řešení je diplomaticky řečeno \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function\#General_formula_for_roots}{poněkud obtížnější}.
- \begin{calculation}
- \caption{pH, je-li uvažována autoprotolýza}
+ \FloatJail{calculation}{pH, je-li uvažována autoprotolýza}{
\infloattext{
\centering
Upravená rovnice uvažující autoprotolýzu
}
\rmm{
- [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]}
+ [H_3O^+] = K_A \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]}
}
\rmm{
[H_3O^+]^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA}
}
\rmm{
- [H_3O^+] = \sqrt{K_a c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}}
+ [H_3O^+] = \sqrt{K_A c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}}
}
\begin{align*}
[H_3O^+] &= \sqrt{10^{\num{9,98}} \cdot \num{1e-4} + 10^{-14}} \\
[H_3O^+] &= \num{1,431e-7}\:[\mpdm] \\
pH &= \num{6,844}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet koncentrace slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice - dimethylamin}
\ilm{pK_b}(dimethylamin) && \num{3,02}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Principiálně shodný se \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinou}.
- \begin{theorem}
- \caption{Rovnice disociace báze}
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace báze}{
\rmm{ B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^- }
- \end{theorem}
+ }
Z této rovnice můžeme vymyslet vztah pro disociační konstantu
- \begin{theorem}
- \caption{Disociační konstanta báze}
- \rmm{ K_b = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} }
+
+ \FloatJail{theorem}{Disociační konstanta báze}{
+ \rmm{ K_B = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} }
\infloattext{
\centering
Z té chceme vyjádřit \ilm{[OH^-]}
}
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{[B]}{[BH^+]}
+ [OH^-] = K_B \frac{[B]}{[BH^+]}
}
\infloattext{
\centering
A protože \ilm{[BH^+] \approx [OH^-]} a \ilm{[B] \approx c_B}
}
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{c_B}{[OH^-]}
+ [OH^-] = K_B \frac{c_B}{[OH^-]}
}
\infloattext{
\centering
Kdyby se uvažoval úbytek disociací a autoprotolýza, vypadala by rovnice takto:
}
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ [OH^-] = K_B \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
}
- \end{theorem}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH dimethylaminu}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH dimethylaminu}{
\begin{align*}
- [OH^-]^2 &= K_b c_B \\
+ [OH^-]^2 &= K_B c_B \\
[OH^-] &= \sqrt{\num{9,550e-7}} \\
[OH^-] &= \num{9,772e-4}\:[\mpdm] \\
pOH &= \num{3,01} \\
pH &= \num{10,99}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola autoprotolýzy}{
\infloattext{
\centering
Bacha, zlomek je obráceně než při počítání s kyselinou
\centering
V pohodě \large{\checkmark}
}
- \end{calculation}
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
\[
\frac{[OH^-]}{c_B} = \frac{\num{9,550e-7}}{\num{1e-3}} \approx \num{1e-3}
\]
\centering
V pohodě \large{\checkmark}
}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny - EDTA}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku EDTA o koncentraci \num{1,0e-2} \mpdm. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_{a,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\
- \ilm{pK_{a,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\
- \ilm{pK_{a,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\
- \ilm{pK_{a,4}}(EDTA) && \num{10,26}
+ \ilm{pK_{A,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\
+ \ilm{pK_{A,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\
+ \ilm{pK_{A,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\
+ \ilm{pK_{A,4}}(EDTA) && \num{10,26}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Brønstedova rovnice by se musela odvodit pro každý stupeň disociace. Platí následující vztahy:
- \begin{theorem}
- \caption{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}
+
+ \FloatJail{theorem}{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}{
\rmm { [H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i }
- \end{theorem}
+ }
- Pokud je \ilm{K_{a,1} >> K_{a,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{a,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{a,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády.
+ Pokud je \ilm{K_{A,1} >> K_{A,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{A,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{A,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády.
- \begin{theorem}
- \caption{Jako pro jednosytnou kyselinu}
+ \FloatJail{theorem}{Jako pro jednosytnou kyselinu}{
\rmm{
- [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
}
- \end{theorem}
+ }
V opačném případě je nutné uvažovat i další disociační stupeň.
- \begin{theorem}
- \caption{Výpočet s dalším disociačním stupněm}
- \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} }
+
+ \FloatJail{theorem}{Výpočet s dalším disociačním stupněm}{
+ \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} }
\rmm{ [H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-] }
\rmm{ [H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}] }
- \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} }
- \rmm{ K_{a,2} = [H_3O^+]_2 }
- \end{theorem}
+ \rmm{ K_{A,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} }
+ \rmm{ K_{A,2} = [H_3O^+]_2 }
+ }
\textbf{Výpočet pH EDTA ze zadání}
\begin{enumerate}
- \item
- \FloatJail{
- Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by šlo o nudnou jednosytnou kyselinu
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}
+ \item Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by šlo o nudnou jednosytnou kyselinu
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}{
\begin{align*}
- [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{a,1} c_{HA}} \\
+ [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{A,1} c_{HA}} \\
[H_3O^+]_1 &= \num{1,015e-2}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
- \FloatJail{
Ověříme použitelnost obou zjednodušení
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola vlivu autoprotolýzy}
+
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{
\[
\frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx 10^{-10}
\]
\infloattext{\centering OK \large{\checkmark} }
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Kontrola vlivu úbytku disociací}
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu úbytku disociací}{
\[
\frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{\num{1,015e-2}}{\num{1e-2}} = \num{1,015}
\]
\infloattext{\centering Musí se uvažovat úbytek disociací \large{\Stopsign} }
- \end{calculation}
}
\item Provedeme korekci na úbytek disociací
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}{
\rmm{
- [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
}
\infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat }
\rmm{
- [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}
+ [H_3O^+] = K_{A,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}
}
\infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice} }
\rmm{
- [H_3O^+]^2 + K_{a,1}[H_3O^+] - K_{a,1} c_{HA} = 0
+ [H_3O^+]^2 + K_{A,1}[H_3O^+] - K_{A,1} c_{HA} = 0
}
\begin{align*}
x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
- x_{1,2} &= \frac{-K_{a,1} \pm \sqrt{K_{a,1}^2 + 4 \cdot 1 \cdot K_{a,1} c_{HA}}}{2 \cdot 1} \\
+ x_{1,2} &= \frac{-K_{A,1} \pm \sqrt{K_{A,1}^2 + 4 \cdot 1 \cdot K_{A,1} c_{HA}}}{2 \cdot 1} \\
x_{1,2} &= \frac{-\num{0.010233} \pm \sqrt{\num{0.000105} + 4 \cdot 1 \cdot \num{0.000102}}}{2 \cdot 1} \\
x_1 &= \num{6,220e-3} \\
x_2 &= \num{-1,645e-2} \text{(nemá význam)}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\ilm{[H_3O^+]_1 = \num{6,220e-3}}~[\mpdm]
- \item
- \FloatJail{
- Protože rozdíl \ilm{pK_{a,1}} a \ilm{pK_{a,2}} je menší než 3, musíme uvažovat i druhý disociační stupeň
- \begin{calculation}
- \caption{Vliv druhého disociačního stupně}
+ \item Protože rozdíl \ilm{pK_{A,1}} a \ilm{pK_{A,2}} je menší než 3, musíme uvažovat i druhý disociační stupeň
+
+ \FloatJail{calculation}{Vliv druhého disociačního stupně}{
\begin{align*}
- [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{a,2} \\
+ [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{A,2} \\
[H_3O^+]_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\
[H_3O^+]_{celk} &= \num{8,358e-3}\:[\mpdm] \\
pH &= -\log \num{8,358e-3} \\
pH &= \num{2,078}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\end{enumerate}
- }
- (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování všech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11})
+ \noindent (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování všech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11})
\subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady - octan sodný}
\label{ph:weak_acid_strg_base}
\paragraph{Výpočet}
V principu jde o totéž jako v případě \hyperref[ph:weak_acid]{slabé kyseliny}. Zase se sestaví vztah pro disociační konstantu, ze kterého se vyjádří koncentrace \ilm{H_3O^+} iontů.
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}{
\rmm{
NaA \rightleftharpoons Na^+ + A^-
}
\infloattext{
Kation silné zásady bude vždycky v disociované formě, což se anionu slabé kyseliny moc nelíbí. Aby mohl anion slabé kyseliny \uv{naasociovat} zpátky, musí k tomu sebrat \ilm{H^+} z vody. Z tohoto důvodu jsou roztoky solí silné báze a slabé kyseliny zásadité.
}
- \end{theorem}
+ }
- \begin{theorem}
- \caption{Vztah pro disociační konstantu}
+ \FloatJail{theorem}{Vztah pro disociační konstantu}{
\rmm{
- K_b = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]}
+ K_B = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]}
}
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{[A^-]}{[HA]}
+ [OH^-] = K_B \frac{[A^-]}{[HA]}
}
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ [OH^-] = K_B \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
}
\infloattext{\centering Platí stejná zjednodušovací pravidla jako všude jinde}
\rmm{
- [OH^-]^2 = K_b c_{HA}
+ [OH^-]^2 = K_B c_{HA}
}
\rmm{
- \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}}c_{HA}
+ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_A}}c_{HA}
}
\rmm{
- [H_3O^+] = \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}}
+ [H_3O^+] = \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}}
+ }
}
- \end{theorem}
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH octanu sodného ze zadání}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH octanu sodného ze zadání}{
\begin{align*}
- [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}} \\
[H_3O^+] &= \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{-4,75}}}{\num{1e-2}}} \\
pH &= \num{8,375}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Vliv autoprotolýzy}
+ \FloatJail{calculation}{Vliv autoprotolýzy}{
\rmm{
\frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-16,750}}}{10^{-14}} \approx 10^{-3}
}
\infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
- \end{calculation}
- \begin{calculation}
- \caption{Vliv úbytku disociací}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Vliv úbytku disociací}{
\rmm{
\frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}}
}
\infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet pH soli vícesytné kyseliny - fosforečnan draselný}
\paragraph{Zadání}
- Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fosforečnanu draselného o koncentraci \num{1e-3}~\mpdm. \\
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fosforečnanu draselného o koncentraci \num{1e-3}~\mpdm. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\
- \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\
- \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32}
+ \ilm{pK_{A,1}} && \num{2,12} \\
+ \ilm{pK_{A,2}} && \num{7,21} \\
+ \ilm{pK_{A,3}} && \num{12,32}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
- Protože \ilm{K_{a,n} << K_{a,1}}, uplatní se při disociaci jen poslední stupeň. Počítá se to pak jako sůl jednosytné kyseliny.
+ Protože \ilm{K_{A,n} << K_{A,1}}, uplatní se při disociaci jen poslední stupeň. Počítá se to pak jako sůl jednosytné kyseliny.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH fosforečnanu draselného}{
\begin{align*}
- pH &= -\log \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\
+ pH &= -\log \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{HA}}} \\
pH &= -\log \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{12,32}}}{10^{-3}}} \\
pH &= \num{11,66}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Vliv autoprotolýzy}
+ \FloatJail{calculation}{Vliv autoprotolýzy}{
\rmm{
\frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-23,320}}}{10^{-14}} \approx 10^{-9}
}
\infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
- \end{calculation}
- \begin{calculation}
- \caption{Vliv úbytku disociací}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Vliv úbytku disociací}{
\rmm{
\frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}} = \num{0,021}
}
\infloattext{\centering Nelze zanedbat, protože řešení kvadratických rovnic není nikdy dost otravné \large{\Stopsign}}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného s uvažováním úbytku disociací}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH fosforečnanu draselného s uvažováním úbytku disociací}{
\rmm{
- [OH^-] = K_b \frac{c_{NaA} - [OH^-]}{[OH^-]}
+ [OH^-] = K_B \frac{c_{NaA} - [OH^-]}{[OH^-]}
}
\rmm{
- \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}} \frac{c_{NaA} - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }{ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }
+ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_A}} \frac{c_{NaA} - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }{ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }
}
\rmm{
- [H_3O^+]^2 c_{NaA} - [H_3O^+]K_W - K_W K_a = 0
+ [H_3O^+]^2 c_{NaA} - [H_3O^+]K_W - K_W K_A = 0
}
\begin{align*}
[H_3O^+] &= \num{1,046e-11} \\
pH &= \num{10,98}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet pH kyselého pufru}
\paragraph{Zadání}
Vypočítejte pH tlumivého roztoku obsahujícího \num{0,04}~\mpdm\space\ilm{NaH_2PO_4} a \num{0,02}~\mpdm\space\ilm{Na_2HPO_4}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\
- \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\
- \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32}
+ \ilm{pK_{A,1}} && \num{2,12} \\
+ \ilm{pK_{A,2}} && \num{7,21} \\
+ \ilm{pK_{A,3}} && \num{12,32}
\end{tabular}
\paragraph{Výpočet}
Pokud nechceme uvažovat iontovou sílu, stačí nám obyčejná \emph{Hendersonova-Hasselbachova} rovnice. Fosforečnan disodný vystupuje jako sůl, dihydrogenfosforečnan sodný jako kyselina.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{pH kyselého pufru z HH rovnice}
+ \FloatJail{calculation}{pH kyselého pufru z HH rovnice}{
\begin{align*}
- pH &= pK_a - \log \frac{c_{HA}}{c_{NaA}} \\
+ pH &= pK_A - \log \frac{c_{HA}}{c_{NaA}} \\
pH &= \num{7,21} -\log \frac{\num{0,04}}{\num{0,02}} \\
pH &= \num{6,909}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Značná odlišnost od úředního výsledku je způsobená právě zanedbáním iontové síly.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Iontová síla}
- \begin{align*}
- I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=}^{n} c_i z_i^2 \\
- I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_2PO_4^-}z_{H_2PO_4^-} + c_{HPO_4^{2-}}z_{HPO_4^{2-}} + c_{Na^+}z_{Na^+}\right) \\
- I &= \frac{1}{2} \left(\num{0,04} \cdot 1^2 + \num{0,02} \cdot 2^2 + \num{0,08} \cdot 1^2\right) \\
- I &= \num{0,100}\:[\mpdm]
- \end{align*}
- \end{calculation}
+ \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{
+ \begin{align*}
+ I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=}^{n} c_i z_i^2 \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_2PO_4^-}z_{H_2PO_4^-} + c_{HPO_4^{2-}}z_{HPO_4^{2-}} + c_{Na^+}z_{Na^+}\right) \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(\num{0,04} \cdot 1^2 + \num{0,02} \cdot 2^2 + \num{0,08} \cdot 1^2\right) \\
+ I &= \num{0,100}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Aktivitní koeficenty jednotlivých iontů dle McInnesovy aproximace}
+ \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficenty jednotlivých iontů dle McInnesovy aproximace}{
\infloattext{
Kvůli rozvleklému a nezajímavému postupu jsou uvedeny jen výsledky
}
\gamma_{H_2PO_4^-} &= 10^{\num{-0,122}} = \num{0,755} \\
\gamma_{HPO_4^{2-}} &= 10^{\num{-0,244}} = \num{0,570} \\
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace kyseliny a soli korigované příslušnými aktivitními koeficienty}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace kyseliny a soli korigované příslušnými aktivitními koeficienty}{
\begin{align*}
a_{NaH_2PO_4} &= \num{0,04} \cdot \gamma_{Na^+} \cdot \gamma_{H_2PO_4^-} = \num{0,023} \\
a_{Na_2HPO_4} &= \num{0,02} \cdot \gamma_{Na^+}^2 \cdot\gamma_{HPO_4^{2-}} = \num{0,006}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{HH rovnice s aktivitami místo koncentrací}
+ \FloatJail{calculation}{HH rovnice s aktivitami místo koncentrací}{
\begin{align*}
- pH &= pK_a - \log \frac{a_{HA}}{a_{NaA}} \\
- pH &= pK_a - \log \frac{\num{0,023}}{\num{0,006}} \\
+ pH &= pK_A - \log \frac{a_{HA}}{a_{NaA}} \\
+ pH &= pK_A - \log \frac{\num{0,023}}{\num{0,006}} \\
pH &= \num{6,626}
\end{align*}
\infloattext{
I tento výsledek se liší od oficiálního (\num{6,54}), nicméně PeakMaster souhlasí se mnou!
}
- \end{calculation}
- }
+ }
- \subsection{Výpočet pH roztoků při zadané koncentraci H\textsubscript{3}O\textsuperscript{+} či OH\textsuperscript{-}}
- \FloatJail{
+ \subsection{Výpočet pH roztoků při zadané koncentraci H\textsubscript*{3}O\textsuperscript*{+} či OH\textsuperscript*{-}}
+ \FloatJailNoCap{
\begin{itemize}
\item \begin{align*}
pH &= -\log [H_3O^+] \\
}
\subsection{Výpočet pH ze známé koncentrace silné kyseliny či báze}
- \FloatJail{
+ \FloatJailNoCap{
\begin{itemize}
\item
\ilm{\num{0,03}\:\mpdm\:H_2SO_4}
\paragraph{Zadání}
Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny kyanovodíkové o koncentraci \num{0,5}~\mpdm. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_a} && \num{9,30}
+ \ilm{pK_A} && \num{9,30}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Stejný jako pro každou jinou \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinu}.
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet pH HCN}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet pH HCN}{
\begin{align*}
- pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= -\log \sqrt{K_A c_{HA}} \\
pH &= -\log \left(\num{1,583e-5}\right) \\
pH &= \num{4,801}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet pH s bonusovým krokem výpočtu molární koncentrace zadané látky}
\paragraph{Zadání}
Jaké je pH roztoku 1~\si{\gram} anilinu v 1000~\mL\space vody? \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_b} && \num{9,30} \\
+ \ilm{pK_B} && \num{9,30} \\
\ilm{M(anilin)} && \num{93,13}\:\gpm
\end{tabular} \\
- \textcolor{sovietred}{Pozor, v zadání je uvedeno \ilm{pK_a} místo \ilm{pK_b}, což je samozřejmě chyba.}
+ \textcolor{sovietred}{Pozor, v zadání je uvedeno \ilm{pK_A} místo \ilm{pK_B}, což je samozřejmě chyba.}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Stejný jako pro libovolnou slabou bázi, nejdřív je ale nutné spočítat koncentraci anilinu v roztoku.
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace anilinu}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace anilinu}{
\begin{align*}
c &= \frac{n}{V} \\
c &= \frac{m}{VM} \\
c &= \frac{1}{1 \num{93,13}} \\
c &= \num{1,074}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{pH anilinu}
+ \FloatJail{calculation}{pH anilinu}{
\begin{align*}
- pOH &= -\log \sqrt{K_b c_B} \\
+ pOH &= -\log \sqrt{K_B c_B} \\
pOH &= -\log \num{2,320e-6} \\
pOH &= \num{5,635} \\
pH &= \num{8,365}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet množství kyseliny nutného k přípravě roztoku o zadaném pH}
\paragraph{Zadání}
Kolik gramů benzoové kyseliny (pKa = 4,20) je třeba rozpustit na přípravu 2000~\mL\space roztoku o pH = \num{2,85}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_a} && \num{4,20} \\
+ \ilm{pK_A} && \num{4,20} \\
\ilm{M (C_6H_5COOH)} && \num{122,12}\:\gpm
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Postupuje se stejně jako při výpočtu pH \hyperref[ph:weak_acid]{slabé báze}, akorát se rovnice trochu zpřehází, abychom dostali hmotnost.
- \begin{calculation}
- \caption{Navážka kyseliny benzoové nutná k přípravě zadaného roztoku}
+ \FloatJail{calculation}{Navážka kyseliny benzoové nutná k přípravě zadaného roztoku}{
\begin{align*}
- pH &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
- 10^{-pH} &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
- \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= c_{HA} \\
- MV \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= m_{HA} \\
+ pH &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\
+ 10^{-pH} &= \sqrt{K_A c_{HA}} \\
+ \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_A} &= c_{HA} \\
+ MV \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_A} &= m_{HA} \\
2 \cdot 1 \frac{10^{\num{-5,700}}}{10^{\num{-4,20}}} &= m_{HA} \\
m_{HA} &= \num{7,723}\:[\si{\gram}]
\end{align*}
- \end{calculation}
- }
+ }
\subsection{Výpočet pH kyseliny, je-li znám její hmotnostní zlomek}
\label{ph:vinegar}
\paragraph{Zadání}
Jaké je pH 8\% octa. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_a} && \num{4,75} \\
+ \ilm{pK_A} && \num{4,75} \\
\ilm{\rho_{ocet}} && \num{1,0097}\:\si{\gram\per\milli\litre} \\
\ilm{M(CH_3COOH)} && \num{60,05}\:\gpm
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Skoro totéž jako v předchozích dvou příkladech, jen je nutné koncentraci spočítat z hmotnostního zlomku
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace octa z hmotnostního zlomku}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace octa z hmotnostního zlomku}{
\begin{align*}
m_{ocet} &= w \rho_{ocet} \\
c_{ocet} &= \frac{w \rho_{ocet}}{M V} \\
c_{ocet} &= \frac{\num{0,08} \cdot \num{1,0097}}{\num{60,05} \cdot \num{0,001}} \\
c_{ocet} &= \num{1,345}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
-
- \begin{calculation}
- \caption{pH 8\% octa}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{pH 8\% octa}{
\begin{align*}
- pH &= -\log\sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= -\log\sqrt{K_A c_{HA}} \\
pH &= \num{2,311}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet hmotnostního zlomku látky v roztoku o zadaném pH}
\paragraph{Zadání}
Kolika procentní je vodný roztok amoniaku o pH = \num{10,5}. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
- \ilm{pK_b(NH_3)} && \num{4,74} \\
+ \ilm{pK_B(NH_3)} && \num{4,74} \\
\ilm{M(NH_3)} && \num{17,031}~\gpm
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Totéž, co příklad s \hyperref[ph:vinegar]{octem}, jenže obráceně.
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace amoniaku v roztoku}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace amoniaku v roztoku}{
\begin{align*}
- [OH^-] &= \sqrt{K_b c_B} \\
- \frac{[OH^{-}]^2}{K_b} &= c_B \\
+ [OH^-] &= \sqrt{K_B c_B} \\
+ \frac{[OH^{-}]^2}{K_B} &= c_B \\
c_B &= \frac{10^{-2 \cdot(14 - \num{10,5})}}{10^{-4,74}} \\
c_B &= \num{5,500e-3}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Hmotnostní zlomek amoniaku v roztoku}
+ \FloatJail{calculation}{Hmotnostní zlomek amoniaku v roztoku}{
\infloattext{
Pro co nejjednodušší výpočet bude za objem vždy dosazena hodnota 1~\si{\litre}. V tomto případě totiž platí, že \ilm{c_{NH_3} = n_{NH_3}}.
}
w_{NH_3} &= \num{9,366e-5} \\
w_{NH_3} &= \num{9,366e-3}\%
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\section{Srážecí rovnováhy}
\paragraph{Výpočet}
Spočte se koncentrace rozpuštěného fosforečnanu stříbrného, ze které se pak spočítá součin rozpustnosti.
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{Součin rozpustnosti}
+ \FloatJail{theorem}{Součin rozpustnosti}{
Součin rozpustnosti \ilm{K_S} je termodynamická konstanta vyjadřující ochotu soli rozpouštět se - tedy disociovat. Pro sůl obecného vzorce \ilm{K_mA_n} je součin rozpustnosti definován takto:
\rmm{
K_S = a_{K^{n+}}^m a_{A^{m-}}^n
\rmm{
K_S = [K^{n+}]^m [A^{m-}]^n
}
- \end{theorem}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace rozpuštěného \ilm{Ag_3PO_4}}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace rozpuštěného \ilm{Ag_3PO_4}}{
\begin{align*}
c &= \frac{n}{V} \\
c &= \frac{m}{MV} \\
c &= \frac{1}{\num{418,576} \cdot 149} \\
c &= \num{1,604e-5}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Součin rozpustnosti \ilm{Ag_3PO_4}}
+ \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti \ilm{Ag_3PO_4}}{
\begin{align*}
K_S &= [Ag^+]^3 [PO_4^{3-}] \\
K_S &= (3c)^3 c \\
\infloattext{
Proč se koncentrace \ilm{Ag^+} iontů násobí 3\ilm{\times}? Proto, že z jednoho molu fosforečnanu stříbrného vzniknou tři ionty \ilm{Ag^+}.
}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Síran barnatý}
\paragraph{Zadání}
- Ve 250~\mL nasyceného roztoku síranu barnatého je rozpuštěno právě \num{0,607}~\si{\milli\gram} této látky. Vypočítejte součin rozpustnosti této soli. \\
+ Ve \SI{250}{\mL} nasyceného roztoku síranu barnatého je rozpuštěno právě \SI{0,607}{\milli\gram} této látky. Vypočítejte součin rozpustnosti této soli. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{M(BaSO_4)} && \num{233,39}~\gpm
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Stejný princip jako v předchozím příkladu
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace rozpuštěného \ilm{BaSO_4}}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace rozpuštěného \ilm{BaSO_4}}{
\begin{align*}
c &= \frac{n}{V} \\
c &= \frac{m}{MV} \\
c &= \frac{\num{6,07e-4}}{\num{233,39} \cdot \num{0,250}} \\
c &= \num{1,040e-5}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Součin rozpustnosti \ilm{BaSO_4}}
+ \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti \ilm{BaSO_4}}{
\begin{align*}
K_S &= [Ba^{2+}] [SO_4^{2-}] \\
K_S &= c^2 \\
K_S &= (\num{1,040e-5})^2 \\
K_S &= \num{1,082e-10}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{V jakém objemu se zcela rozpustí daná látka}
\ilm{K_S(HgS)} && \num{5,0e-54}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Spočítáme molární rozpustnost sulfidu rtuťnatého a z ní potřebný objem na rozpuštění zadaného množství.
- \begin{calculation}
- \caption{Molární rozpustnost HgS}
+ \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost HgS}{
\begin{align*}
K_S &= [Hg^+][S^-] \\
K_S &= c^2 \\
c &= \sqrt{K_S} \\
c &= \num{2,236e-27}\:[\mpdm] \\
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Objem nutný k rozpuštění zadaného množství}
+ \FloatJail{calculation}{Objem nutný k rozpuštění zadaného množství}{
\begin{align*}
n &= \frac{m}{M} \\
c &= \frac{m}{MV} \\
\infloattext{
(Jen tak mimochodem, celkový objem vody v oceánech je \num{1,37e9}~\si{\cubic\kilo\metre})
}
- \end{calculation}
}
\subsection{Výpočet součinu rozpustnosti látek z údajů o jejich rozpustnosti}
\paragraph{Zadání}
\num{0,2608}~\si{\gram} \ilm{Ag_2CrO_4} (M = \ilm{331,77}~\gpm) v 6 litrech nasyceného roztoku.
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Výpočet je stejný jako v \hyperref[prec:ks]{prvním příkladu}
- \begin{calculation}
- \caption{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Ag_2CrO_4}}
+
+ \FloatJail{calculation}{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Ag_2CrO_4}}{
\begin{align*}
c &= \frac{\num{0,2608}}{6 \cdot \num{331,77}} \\
c &= \num{1,310e-4}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Součin rozpustnosti}
+ \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti}{
\begin{align*}
K_S &= [Ag^+]^2 [CrO_4^{2-}] \\
K_S &= (2c)^2 c \\
K_S &= 4 \cdot \num{1,310e-4}^3 \\
K_S &= \num{8,992e-12}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{F}}
- \FloatJail{
\paragraph{Zadání}
\num{0,165}~\si{\milli\gram} \ilm{Pb_3(PO_4)_2} (M = \num{811,58}~\gpm) v 1200 ml nasyceného roztoku.
- \begin{calculation}
- \caption{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Pb_3(PO_4)_2}}
+ \FloatJail{calculation}{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Pb_3(PO_4)_2}}{
\begin{align*}
c &= \frac{m}{MV} \\
c &= \frac{\num{1,65e-4}}{\num{811,58} \cdot \num{1,2}} \\
c &= \num{1,694e-7}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Součin rozpustnosti}
+ \FloatJail{calculation}{Součin rozpustnosti}{
\begin{align*}
K_S &= [Pb^{2+}]^3[PO_4]^2 \\
K_S &= (3c)^3 (2c)^2 \\
K_S &= 108 \cdot \num{1,694e-6}^5 \\
K_S &= \num{1,506e-32}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Zbytek příkladů z této sekce se počítá úplně stejně...
\ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
\label{prec:ks_common}
Dusičnan draselný nemá s chloridem stříbrným žádný společný ion. Rozpustnost chloridu stříbrného je ovlivněna iontovou silou, která je vyšší přítomností dusičnanu draselného.
- \begin{calculation}
- \caption{Iontová síla}
+ \FloatJail{calculation}{Iontová síla}{
\begin{align*}
I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n c_i z_i^2 \\
I &= \frac{1}{2} (\num{0,01} \cdot 1^2 + \num{0,01} \cdot 1^2) \\
I &= \num{0,01}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}
+ \FloatJail{calculation}{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}{
\begin{align*}
\log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{K^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\
\log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \sqrt{\num{0,01}}}{1 + \sqrt{\num{0,01}}} \\
\gamma_{K^+} &= \num{0,899}
\end{align*}
\infloattext{\centering Aktivitní koeficient \ilm{NO_3^-} je stejný. }
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Molární rozpustnost}
+ \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{
\begin{align*}
K_S &= [Ag]\gamma_{K^+} [Cl]\gamma_{NO_3^-} \\
K_S &= c^2 \gamma^2 \\
\infloattext{
\textcolor{sovietred}{V oficiálních výsledcích je uvedeno \num{1,41e-5}~\mpdm, což by byla pravda, kdyby se neuvažoval vliv iontové síly \ilm{KNO_3}}
}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{B}}
\ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
V roztoku je přítomen dobře rozpustný chlorid draselný. Chlorid stříbrný má proto problém nacpat \uv{svoje} \ilm{Cl^-} do roztoku, protože už jich tam je dost z KCl a bude se proto rozpouštět méně. Správně by se ještě měl uvažovat vliv iontové síly, ale v testu to po vás (snad) nikdo nebude chtít.
- \begin{calculation}
- \caption{Molární rozpustnost}
+ \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{
\begin{align*}
K_S &= [Ag] c_{Cl^-} \\
[Ag] &= \frac{K_S}{c_{Cl^-}} \\
[Ag] &= \frac{\num{2e-10}}{\num{0,01}} \\
[Ag] &= \num{2e-8}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Rozpouštění látky při promývání}
\ilm{K_S(Tl_2CrO_4)} && \num{9,8e-13}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Spočítá se rozpustnost chromanu thallného v 50~\mL\space vody a výsledek se vynásobí třemi :)
- \begin{calculation}
- \caption{Molární rozpustnost}
+ \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{
\begin{align*}
K_S &= [Tl^+]^2[CrO_4^-] \\
K_S &= 4c^3 \\
c &= \sqrt{K_S} \\
c &= \num{6,257e-5}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Hmotnost thallia rozpuštěného v 50~\mL vody}
+ \FloatJail{calculation}{Hmotnost thallia rozpuštěného v 50~\mL vody}{
\begin{align*}
n_{Tl_2CrO_4} &= cV \\
n_{Tl} &= 2n_{Tl_2CrO_4} \\
m_{Tl, celk} &= 3 m_{Tl} \\
m_{Tl, celk} &= \num{0,00384}\:[\si{\gram}]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Rozpustnost při daném pH}
\paragraph{Zadání}
+ \label{prec:sol_ph}
Vypočítejte rozpustnost \ilm{Al(OH)_3} při pH = 4. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{K_S(Al(OH)_3)} && \num{1e-32}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-}, pak se postupuje stejně jako při výpočtu rozpustnosti v příkladě, kdy je v roztoku \hyperref[prec:ks_common]{přítomna další látka mající s danou látkou společný iont}.
- \begin{calculation}
- \caption{Molární rozpustnost}
+ \FloatJail{calculation}{Molární rozpustnost}{
\begin{align*}
K_S &= [Al][OH^-]^3 \\
K_S &= c \cdot {10^{-(14-pH)}}^3 \\
c &= \frac{\num{1e-32}}{10^{-30}} \\
c &= \num{1e-2}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{pH, při kterém se začne tvořit sraženina}
\paragraph{Zadání}
Vypočítejte pH, při němž se z \num{0,1}~\mpdm\space roztoku iontů \ilm{Fe^{3+}} začíná vylučovat hydroxid železitý.
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-} kationů, která je přítomna v roztoku, aby se rozpustilo právě \num{0,1}~\mpdm\space\ilm{Fe^{3+}} iontů. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{K_S(Fe(OH)_3)} && \num{2e-39}
\end{tabular}
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{OH^-}}{
\begin{align*}
K_S &= [Fe^{3+}] [OH^-]^3 \\
K_S &= c_{Fe^{3+}} [OH^-]^3 \\
pH &= 14 + \log \num{2,714e-13} \\
pH &= \num{1,434}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{B}}
\ilm{K_S(Mg(OH)_2)} && \num{1,1e-11}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Stejný jako v \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{předchozím příkladě}.
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{OH^-}}{
\begin{align*}
K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\
K_S &= c_{Mg^{2+}} [OH^-]^2 \\
pH &= 14 + \log \num{1,049e-5} \\
pH &= \num{9,021}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{C}}
\paragraph{Zadání}
Jaká koncentrace \ilm{Mg^{2+}} v \mpdm\space může existovat v roztoku, který obsahuje \num{0,5}~\mpdm\space \ilm{NH_4Cl} a \num{0,1}~\mpdm\space \ilm{NH_3}?
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Příklad je typově skoro stejný jako \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{dva předchozí}. Známe pH roztoku, takže známe koncentraci \ilm{OH^-}.
- \begin{calculation}
- \caption{pH roztoku}
+ \FloatJail{calculation}{pH roztoku}{
\begin{align*}
pH &= pKa + \log\frac{c_B}{c_{BHCl}} \\
pH &= -\log\left(\num{-5,55e-11}\right) + \log\frac{\num{0,1}}{\num{0,5}} \\
pH &= \num{8,556} \\
pOH &= \num{5,443}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{Mg^{2+}}}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{Mg^{2+}}}{
\begin{align*}
K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\
[Mg^{2+}] &= \frac{K_S}{[OH^-]^2} \\
[Mg^{2+}] &= \frac{\num{1,1e-11}}{\num{1,1e-11}} \\
[Mg^{2+}] &= \num{0,846}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{D}}
\ilm{E^\stdpot(HNO_2/NO)} && \num{+1,00}~\si{\volt} \\
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Vyjdeme z následujících vztahů:
- \begin{theorem}
- \caption{Gibbsova energie reakce}
+
+ \FloatJail{theorem}{Gibbsova energie reakce}{
\rmm{ \Delta G = -RT \ln K }
\rmm{ \Delta G = -nFE}
- \end{theorem}
+ }
Stechiometrické koeficienty rovnice vydělíme dvěma. \\
\rmm { I^- + HNO_2 + 2\:H^+ \rightleftharpoons \frac{1}{2}I_2 + NO + H_2O }
- \begin{calculation}
- \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}
+
+ \FloatJail{calculation}{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}{
\begin{align*}
-RT \ln K &= -nFE \\
\ln K &= \frac{nFE}{RT} \\
K &= \exp \left( \frac{1 \cdot \num{96485} \cdot \left(\num{0,62} - \num{1,00}\right)}{\num{8,314} \cdot 298} \right) \\
K &= \num{3,742e-7}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad \uv{B}}
\ilm{E^\stdpot(\frac{1}{2}Cr_2O_7/Cr^{3+})} && \num{+1,33}~\si{\volt}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Úplně stejně jako \hyperref[redox:k]{prve}.
- \begin{calculation}
- \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}
+ \FloatJail{calculation}{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}{
\begin{align*}
K &= \exp \left(\frac{nFE}{RT}\right) \\
K &= \exp \left(\frac{6 \cdot \num{96485} \left(\num{1,33} - \num{1,09}\right)}{\num{8,314} \cdot 298}\right) \\
K &= \num{2,262e24}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
-
+
\subsection{Výpočet bodu ekvivalence titrace}
+ \label{redox:eekv}
\paragraph{Zadání}
Vypočítejte potenciál bodu ekvivalence při titraci iontů \ilm{Cr^{2+}} jodometricky. \\
\begin{tabular}{l>{=}cr}
\ilm{E^\stdpot(Cr^{3+}/Cr^{2+})} && \num{-0,41}~\si{\volt}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Tato redoxní reakce běží dle následující rovnice
- \begin{theorem}
- \caption{Oxidace \ilm{Cr^{2+}} jódem}
+ \FloatJail{theorem}{Oxidace \ilm{Cr^{2+}} jódem}{
\rmm{
2\:Cr^{2+} + I_2 \rightleftharpoons 2\:Cr^{3+} + 2\:I^-
}
- \end{theorem}
+ }
Potenciál v bodu ekvivalence lze vypočítat \emph{Lutherovým vztahem}
- \begin{theorem}
- \caption{Lutherův vztah}
+
+ \FloatJail{theorem}{Lutherův vztah}{
\rmm{
E_{ekv} = \frac{n_1 E_1 + n_2 E_2}{n_1 + n_2}
}
- \end{theorem}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Potenciál v bodu ekvivalence}
+ \FloatJail{calculation}{Potenciál v bodu ekvivalence}{
\begin{align*}
E_{ekv} &= \frac{2 \cdot \num{0,54} + 1 \cdot \num{-0,41}}{1 + 2} \\
E_{ekv} &= \frac{\num{0,67}}{3} \\
E_{ekv} &= \num{0,223}\:[\si{\volt}]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\section{Komplexotvorné rovnováhy}
\paragraph{Výpočet}
Spočítá se koncentrace všech složek roztoku a ze vztahu pro konstantu stability se určí koncentrace nazakomplexovaného kovu.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Analytická koncentrace \ilm{Al^{3+}} iontů}
- \[
- n_{Al_2(SO_4)_3} = \frac{m}{M} = \frac{\num{1,666}}{\num{666,41}} = \num{2,500e-3}\:[\si{\mol}]
- \]
- \[
- n_{Al^{3+}} = 2 \cdot n_{Al_2(SO_4)_3} = \num{5,000e-3}\:[\si{\mol}]
- \]
- \[
- c_{Al^{3+}} = \frac{n}{V} = \frac{\num{5,000e-3}}{\num{0,2}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
- \]
- \end{calculation}
-
- \begin{calculation}
- \caption{Analytická koncentrace EDTA}
- \[
- c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \frac{V_{EDTA,0}}{V_{celk}} = \num{0,1} \cdot \frac{\num{50,00}}{\num{200,00}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
- \]
- \end{calculation}
-
-
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}
- \begin{align*}
- \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\
- [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]}
- \end{align*}
+ \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace \ilm{Al^{3+}} iontů}{
+ \[
+ n_{Al_2(SO_4)_3} = \frac{m}{M} = \frac{\num{1,666}}{\num{666,41}} = \num{2,500e-3}\:[\si{\mol}]
+ \]
+ \[
+ n_{Al^{3+}} = 2 \cdot n_{Al_2(SO_4)_3} = \num{5,000e-3}\:[\si{\mol}]
+ \]
+ \[
+ c_{Al^{3+}} = \frac{n}{V} = \frac{\num{5,000e-3}}{\num{0,2}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ }
- Protože koncentrace \ilm{Al_2(SO_4)_3} je stejná jako koncentrace EDTA platí, že \ilm{[Al^{3+}] = [Y]}
+ \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace EDTA}{
+ \[
+ c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \frac{V_{EDTA,0}}{V_{celk}} = \num{0,1} \cdot \frac{\num{50,00}}{\num{200,00}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ }
- \begin{align*}
- [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
- [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
- [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}}
- \end{align*}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}{
+ \begin{align*}
+ \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\
+ [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]}
+ \end{align*}
+ }
- Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA.
+ Protože koncentrace \ilm{Al_2(SO_4)_3} je stejná jako koncentrace EDTA platí, že \ilm{[Al^{3+}] = [Y]}
- \begin{align*}
- [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\
- [Al^{3+}] &= \sqrt{\num{1,853e-18}} \\
- [Al^{3+}] &= \num{1,361e-9}\:[\mpdm]
- \end{align*}
- \end{calculation}
- }
+ \begin{align*}
+ [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
+ [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}}
+ \end{align*}
+
+ Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA.
+
+ \begin{align*}
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\num{1,853e-18}} \\
+ [Al^{3+}] &= \num{1,361e-9}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
\subsubsection{Příklad \uv{B}}
\paragraph{Zadání}
\paragraph{Výpočet}
Stejný jako v \hyperref[cpx:eqc]{příkladu \uv{A}}.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Analytická koncentrace \ilm{Pb^{2+}}}
- \[
- c_{Pb^{2+}} = \frac{\num{0,828}}{\num{331,2} \cdot \num{225,00}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
- \]
- \end{calculation}
-
- \begin{calculation}
- \caption{Analytická koncentrace EDTA}
- \[
- c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \cdot \frac{V_{EDTA}}{V_{celk}} = \num{0,02} \cdot \frac{\num{0,125}}{\num{0,225}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
- \]
- \end{calculation}
-
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{[Pb^{2+}]}}
- \infloattext{
- Výpočet je naprosto identický s výpočtem předchozím, opět se vychází z předpokladu rovnosti \ilm{[Pb^{2+}] = [Y]} a že koncentrace komplexu je rovná koncentraci ligandu.
- }
+ \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace \ilm{Pb^{2+}}}{
+ \[
+ c_{Pb^{2+}} = \frac{\num{0,828}}{\num{331,2} \cdot \num{225,00}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ }
- \begin{align*}
- [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{[PbY^-]}{\beta(PbY^-)}} \\
- [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{\num{1,111e-2}}{10^{18}}} \\
- [Pb^{2+}] = \sqrt{\num{1,111e-20}} \\
- [Pb^{2+}] = \num{1,054e-10}\:[\mpdm]
- \end{align*}
+ \FloatJail{calculation}{Analytická koncentrace EDTA}{
+ \[
+ c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \cdot \frac{V_{EDTA}}{V_{celk}} = \num{0,02} \cdot \frac{\num{0,125}}{\num{0,225}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{[Pb^{2+}]}}{
+ \infloattext{
+ Výpočet je naprosto identický s výpočtem předchozím, opět se vychází z předpokladu rovnosti \ilm{[Pb^{2+}] = [Y]} a že koncentrace komplexu je rovná koncentraci ligandu.
+ }
- \end{calculation}
+ \begin{align*}
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{[PbY^-]}{\beta(PbY^-)}} \\
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{\num{1,111e-2}}{10^{18}}} \\
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\num{1,111e-20}} \\
+ [Pb^{2+}] = \num{1,054e-10}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
}
\subsubsection{Příklad \uv{C}}
\paragraph{Výpočet}
Příklad z kategorie WTF. Není zadán celkový objem roztoku, tudíž spočítat \emph{koncentraci} \ilm{Mg^{2+}} není možné. Nicméně částečně řešitelný příklad je. Při výpočtu se vychází z faktu, že nadbytek kovu potlačí disociaci komplexu. Látkové množství nezakomplexovaného \ilm{Mg^{2+}} se spočítá velmi jednoduše. Esenciálním krokem je ignorovat nadbytečné informace v zadání (M a \ilm{\beta}).
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Látkové množství \ilm{Mg^{2+}}}
+ \FloatJail{calculation}{Látkové množství \ilm{Mg^{2+}}}{
\begin{align*}
[Mg^{2+}] &= c_{Mg^{2+}} - [MgY^-] \\
[MgY^-] &\approx c_L \\
[Mg^{2+}] &= \num{1,030e-3} - \num{1,000e-3} \\
[Mg^{2+}] &= \num{3,000e-5}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
Uvedený výsledek \ilm{[Mg^{2+}] = \num{2e-4}\:\mpdm} by byl pravdivý, kdyby byl celkový objem roztoku \num{150,00}~\mL.
- }
\subsection{Výpočet podmíněné konstanty stability}
\label{cmpl:cond_stab}
\paragraph{Výpočet}
Příklad je jednodušší, než se vám zadaní snaží vsugerovat. Hodnotu podmíněné konstanty stability je možné určit takto
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{Podmíněná konstanta stability}
- \rmm{
- \beta^{'}(ML) = \frac{\beta(ML)}{\alpha(M) \alpha(L)}
- }
- \begin{tabular}{lc>{\raggedleft\arraybackslash}p{5cm}}
- \ilm{\beta(ML)} &-& Disociační konstanta komplexu ML \\
- \ilm{\alpha(M)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu \\
- \ilm{\alpha(L)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu
- \end{tabular}
- \end{theorem}
+ \FloatJail{theorem}{Podmíněná konstanta stability}{
+ \rmm{
+ \beta^{'}(ML) = \frac{\beta(ML)}{\alpha(M) \alpha(L)}
}
+ \begin{tabular}{lc>{\raggedleft\arraybackslash}p{5cm}}
+ \ilm{\beta(ML)} &-& Disociační konstanta komplexu ML \\
+ \ilm{\alpha(M)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu \\
+ \ilm{\alpha(L)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu
+ \end{tabular}
+ }
- Koeficienty vedlejších reakcí je možné vypočítat ze znalosti konstanty stability příslušného vznikajícího komplexu a koncentrace reaktantů, v tomto případě by šlo o koncentrace \ilm{NH_3} a \ilm{H_3O^+} - viz přednáška. Protože v zadání jsou uvedeny přímo koeficienty vedlejších reakcí, smrskne se výpočet na toto
+ Koeficienty vedlejších reakcí je možné vypočítat ze znalosti konstanty stability příslušného vznikajícího komplexu a koncentrace reaktantů, v tomto případě by šlo o koncentrace \ilm{NH_3} a \ilm{H_3O^+} - viz přednáška. Protože v zadání jsou uvedeny přímo koeficienty vedlejších reakcí, smrskne se výpočet na toto
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Podmíněná konstanta stability}
- \begin{align*}
- \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \frac{\beta(Ni^{II}-EDTA)}{\alpha(EDTA(H))\alpha(Ni(NH_3))} \\
- \log \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \num{18,6} - (\num{1,0} + \num{4,2}) \\
- \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= 10^{\num{13,4}}
- \end{align*}
-
- \end{calculation}
+ \FloatJail{calculation}{Podmíněná konstanta stability}{
+ \begin{align*}
+ \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \frac{\beta(Ni^{II}-EDTA)}{\alpha(EDTA(H))\alpha(Ni(NH_3))} \\
+ \log \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \num{18,6} - (\num{1,0} + \num{4,2}) \\
+ \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= 10^{\num{13,4}}
+ \end{align*}
}
\subsection{Výpočet koncentrací všech přítomných forem komplexu}
\paragraph{Výpočet}
Pro úspěšné vyřešení příkladu je třeba vést v patrnosti pár věcí. Zadané konstanty stability jsou \emph{konsekutivní}, platí pro ně následující
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{konsekutivní konstanta}
+ \FloatJail{theorem}{konsekutivní konstanta}{
\rmm{ \beta(ML_2) = K(ML) \cdot K(ML_2) }
\infloattext{Nebo vyjádřeno obecněji}
\rmm{ \beta(ML_n) = \beta(ML_{n-1}) \cdot K(ML_n) }
- \end{theorem}
+ }
Dál je vhodné znát tzv. \emph{bilanční vztahy} a jak se vypočítá koncentrace konkrétního komplexu v roztoku:
- \begin{theorem}
- \caption{Koncentrace jedné formy komplexu}
+
+ \FloatJail{theorem}{Koncentrace jedné formy komplexu}{
\rmm{ [ML_n] = \beta(ML_n) [M][L]^n }
- \end{theorem}
- \begin{theorem}
- \caption{Koncentrace nezakomplexovaného kovu}
+ }
+
+ \FloatJail{theorem}{Koncentrace nezakomplexovaného kovu}{
\rmm{ [M] = \frac{c_M}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} }
- \end{theorem}
}
- \FloatJail{
Nejdříve je tedy nutné spočítat koncentraci nezakomplexovaného kadmia v roztoku.
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace \ilm{Cd^{2+}}}
+
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace \ilm{Cd^{2+}}}{
\infloattext{Výpočet složitého součtu ve jmenovateli}
\begin{align*}
X &= \sum\limits^4_{i=1} \beta_i [L]^i \\
[Cd^{2+}] &= \frac{\num{0,01}}{1 + \num{463,469}} \\
[Cd^{2+}] &= \num{2,153e-5}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Koncentrace jednotlivých forem komplexu}
+ \FloatJail{calculation}{Koncentrace jednotlivých forem komplexu}{
\begin{align*}
[ML] &= \beta(ML)[M][L] &= \num{20,893} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,498e-4}\:[\mpdm] \\
[ML_2] &= \beta(ML_2)[M][L]^2 &= \num{165,959} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{3,573e-3}\:[\mpdm] \\
[ML_3] &= \beta(ML_3)[M][L]^3 &= \num{204,173} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,400e-3}\:[\mpdm] \\
[ML_4] &= \beta(ML_4)[M][L]^4 &= \num{77,444} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{1,560e-3}\:[\mpdm]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsection{Procentuální zastoupení dané formy komplexu v kovu}
\paragraph{Zadání}
+ \label{cmpl:form_percents}
Vypočítejte procentuální zastoupení komplexu ML a komplexu \ilm{ML_2} při koncentraci ligandu [L] = \num{1,63e-3}~\mpdm. \\
\begin{tabular}{lc<{=~}r}
\ilm{\log K_1} && \num{3,5} \\
\ilm{\log K_2} && \num{2,5}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
- Postup výpočtu je extrémně podobný předchozímu příkladu. Je třeba znát, co je to konsekutivní konstanta stability a vztah pro poměrné zastoupení komplexu v roztoku \\
- \begin{theorem}
- \caption{Poměrné zastoupení komplexu}
- \rmm{ \delta_j = \frac{\beta_j [L]^j}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} }
- \end{theorem}
+ Postup výpočtu je extrémně podobný předchozímu příkladu. Je třeba znát, co je to konsekutivní konstanta stability a vztah pro poměrné zastoupení komplexu v roztoku
+
+ \FloatJail{theorem}{Poměrné zastoupení komplexu}{
+ \rmm{ \delta_j = \frac{\beta_j [L]^j}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} }
+ }
Nejprve provedeme kalkulaci součtu ve jmenovateli stejně jako v předchozím příkladu
- \begin{calculation}
- \caption{Zlý dlouhý součet}
+
+ \FloatJail{calculation}{Zlý dlouhý součet}{
\begin{align*}
X &= \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i \\
X &= K_1 \cdot [L]^1 + K_1 K_2 \cdot [L]^2 \\
X &= \num{5,155} + \num{2,657} \\
X &= \num{7,812}
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Zastoupení formy ML}
+ \FloatJail{calculation}{Zastoupení formy ML}{
\begin{align*}
\delta_{ML} &= \frac{\beta(ML) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\
\delta_{ML} &= \frac{\num{5,155}}{1 + 7,812} \\
\delta_{ML} &= \num{0,585} \Rightarrow \num{58,5}\:\%
\end{align*}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Zastoupení formy \ilm{ML_2}}
+ \FloatJail{calculation}{Zastoupení formy \ilm{ML_2}}{
\begin{align*}
\delta_{ML_2} &= \frac{\beta(ML_2) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\
\delta_{ML_2} &= \frac{\num{2,657}}{1 + 7,812} \\
\delta_{ML_2} &= \num{0,302} \Rightarrow \num{30,2}\:\%
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Nad výsledkem mírně odlišným od referenčního není třeba se znepokojovat, zaokrouhlovací nepřesnost je bestie...
\subsection{Test 14. 03. 2014}
\subsubsection{Příklad 1.}
+ \label{tests:1:1}
\paragraph{Zadání}
Spočítejte pH soli slabé kyseliny a silné báze, má-li tato sůl ve vodném roztoku koncentraci \num{1.5e-5}\si{\mpdm}. \\
\begin{tabular}{lc<{=~}r}
\ilm{pK_a} && \num{4.31}
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
- Použijeme vzorec pro výpočet pH této látky, odvození \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{tu}.
+ Použijeme vzorec pro výpočet pH této látky, odvození \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{tu}.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
+ \FloatJail{calculation}{pH se zanedbáním obou jevů}{
\begin{align*}
- [OH^-] &= \sqrt{\frac{K_W}{K_A} C_{NaA}} \\
- [OH^-] &= \sqrt{\num{2.04e-10} \cdot \num{1.5e-5}} \\
- [OH^-] &= \num{5.53e-8} [\si{\mpdm}] \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{NaA}}} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{\num{4,90e-19}}{\num{1.5e-5}}} \\
+ [H_3O^+] &= \SI{1,81e-7}{\mpdm} \\
pH &= \num{6.74}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
- Vychází, že pH je kyselé, což je v případě soli slabé kyseliny a silné báze zřejmá blbost; bude tedy nutné nezanedbat některý extra jev.
+ \noindent Vychází, že pH je kyselé, což je v případě soli slabé kyseliny a silné báze zřejmá blbost; bude tedy nutné nezanedbat některý extra jev.
- \begin{calculation}
- \caption{Korekce na úbytek disociací}
- \rmm{\frac{[OH^-]}{c_{NaA}} = \frac{\num{5.53e-8}}{\num{1.5e-5}} \approx \num{1e-3}}
+ \FloatJail{calculation}{Korekce na úbytek disociací}{
+ \rmm{\frac{[H_3O^-]}{c_{NaA}} = \frac{\num{1,81e-7}}{\num{1.5e-5}} \approx \num{1e-2}}
\infloattext{\centering \checkmark OK}
- \end{calculation}
- \begin{calculation}
- \caption{Korekce na vliv autoprotolýzy}
- \rmm{\frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{[H_3O^+]}{K_W} = \frac{10^{-13.48}}{10^{-14}} \approx 10^{0.52}}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Korekce na vliv autoprotolýzy}{
+ \rmm{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{3,27e-14}} \approx \num{0,31}}
\infloattext{\centering \Stopsign Aha!}
- \end{calculation}
+ }
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu}{
\begin{align*}
- [OH^-] &= \sqrt{\frac{K_W}{K_A}c_{NaA} + K_W} \\
- [OH^-] &= \sqrt{\num{3.06e-15} + \num{1e-14}} \\
- [OH^-] &= \num{1.14e-7} \\
- pH &= \num{7.05}
+ [H_3O^-] &= \sqrt{\frac{K_W K_A}{c_{NaA} + K_A}} \\
+ [H_3O^-] &= \sqrt{\frac{\num{4,90e-19}}{\num{6,40e-5}}} \\
+ [H_3O^-] &= \SI{8,75e-8}{\mpdm} \\
+ pH &= \num{7.06}
\end{align*}
- \end{calculation}
- }
+ }
\subsubsection{Příklad 2.}
\paragraph{Zadání}
\ilm{t_{\frac{1}{2}}} && 5730 let
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Tady je bohužel potřeba tušit, jak funguje radiouhlíkové datování. Na zemi se nachází víc izotopů uhlíku, \num{98.89}~\% tvoří uhlík \ilm{C^{12}}, \num{1.1}\% uhlík \ilm{C^{13}} a zbylé \num{0.01}~\% uhlík \ilm{C^{14}}. Izotopy \ilm{C^{12}} a \ilm{C^{13}} jsou stabilní, izotop \ilm{C^{14}} se rozpadá s poločasem uvedeným výše. Rostlina do své struktury zabudovává uhlík při fotosyntéze, poměr jednotlivých izotopů uhlíku v těle rostliny tedy bude úměrný poměru, v jakém se jednotlivé izotopy nacházejí v atmosféře. Mrtvá rostlina žádnou fotosyntézu neprovádí, takže množství uhlíku \ilm{C^{14}} bude pomalu klesat. Toho se dá využít k odhadu stáří rostliny.
Radioaktivní rozpad se řídí rychlostní rovnicí 1. řádu
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
- \caption{Rychlostní rovnice 1. řádu}
+
+ \FloatJail{theorem}{Rychlostní rovnice 1. řádu}{
\rmm{c_A = c_{A,0} e^{-kt}}
\infloattext{
\centering
t && čas, po který reakce běží
\end{tabular}
}
- \end{theorem}
}
Nejdříve je třeba spočítat rychlostí konstantu. To jde celkem jednoduše z poločasu rozpadu
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Rychlostní konstanta rozpadu radioaktivního uhlíku}
- \begin{align*}
- c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\
- \frac{c_A}{c_{A,0}} &= e^{-kt} \\
- \ln \frac{c_A}{c_{A,0}} &= -kt \\
- \frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{t} &= -k \\
- \frac{\ln \num{0.5}}{\num{5730}} &= -k\:(\text{\num{0.5} proto, že při } t = t_{\frac{1}{2}} \text{se rozpadne právě polovina částic}) \\
- k &= \num{1,210e-4}
- \end{align*}
- \end{calculation}
- }
- Fajn, teď stačí dosadit do rovnice. Za \ilm{c_{A,0}} použijeme \ilm{1.0}. Kdyby byly v zadání ty koncentrace zadány absolutně - což nejspíš byly - je to úplně fuk, protože jejich poměr by byl stejný.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
- \caption{Výpočet stáří sochy}
+ \FloatJail{calculation}{Rychlostní konstanta rozpadu radioaktivního uhlíku}{
+ \begin{align*}
+ c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\
+ \frac{c_A}{c_{A,0}} &= e^{-kt} \\
+ \ln \frac{c_A}{c_{A,0}} &= -kt \\
+ \frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{t} &= -k \\
+ \frac{\ln \num{0.5}}{\num{5730}} &= -k\:(\text{\num{0.5} proto, že při } t = t_{\frac{1}{2}} \text{se rozpadne právě polovina částic}) \\
+ k &= \num{1,210e-4}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \noindent Fajn, teď stačí dosadit do rovnice. Za \ilm{c_{A,0}} použijeme \num{1.0}. Kdyby byly v zadání ty koncentrace zadány absolutně - což nejspíš byly - je to úplně fuk, protože jejich poměr by byl stejný.
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet stáří sochy}{
\begin{align*}
c_A &= c_{A,0} e^{-kt} \\
\frac{\ln \frac{c_A}{c_{A,0}}}{-k} &= t \\
\frac{\ln \num{0.854}}{\num{1.210e-4}} &= \num{1304}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Protože poločas rozpadu byl zadán v letech, je stáří sochy \num{1304} let.
- }
\subsubsection{Příklad 3.}
\paragraph{Zadání}
Vypočítejte součin rozpustnosti \ilm{CaF_2}, je-li koncentrace fluoridových aniontů v roztoku \num{4.273e-4} \si{\mpdm}.
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Dá se vyjít ze vztahu pro součin rozpustnosti. Stačí pouze myslet na to, že z molekuly dané látky může při rozpouštění vznikat víc iontů.
- \begin{calculation}
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet součinu rozpustnosti}{
\begin{align*}
K_S &= [Ca^{2+}][F^-]^2 \\
K_S &= c \cdot (2c)^2\:(\text{Z jednoho \ilm{CaF_2} vzniknou dva \ilm{F^-}}) \\
K_S &= 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\num{4.273e-4}\right)^3 \\
K_S &= \num{3.9e-11}
\end{align*}
- \end{calculation}
}
\subsubsection{Příklad 4.}
\ilm{E^f(BrO_3^-/Br^-)} && \num{1.52}\space\si{\volt} \\
\end{tabular}
- \FloatJail{
\paragraph{Výpočet}
Nejdřív je nutné napsat si rovnici reakce, která jest následující
- \FloatJail{
- \begin{theorem}
+
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice reakce}{
\rmm{6\: H^+ + 3\: Sb^{3+} + BrO_3^- \rightarrow 3\: Sb^{5+} + Br^- + 3\:H_2O}
- \end{theorem}
}
+
Bromičnanový anion je silnějším oxidačním činidlem než antimonitý kation - viz hodnoty formálních redoxních potenciálů - reakce tedy poběží tak, jak je zapsána.
Dál je nutné si všimnout, že reakce je \emph{za} ekvivalencí, tedy že je tam nadbytek oxidačního činidla. Ze stechiometrie je vidět, že na oxidaci všech antimonitých iontů na antimoničné by stačilo \num{20}\mL\space použitého roztoku bromičnanu. Odvození vzorců je ve slidech z přednášky, takže jen letmo:
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet potenciálu v daném bodě titrace}{
\begin{align*}
E &= E^f(BrO_3^-/Br^-) + \frac{\num{0.0592}}{6} \log \frac{c_{BrO_3^-}V_{BrO_3^-} - \frac{1}{3}c_{Sb^{3+}}V_{Sb^{3+}}}{\frac{1}{3}c_{Sb^{3+}}V_{Sb^{3+}}} \\
E &= \num{1.52} + \frac{\num{0.0592}}{6} \log \num{0.25} \\
E &= \num{1.514}\:[\si{\volt}]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
- Nádhera\dots\space A to pH je v zadání jako proč? \\
+ \noindent Nádhera\dots\space A to pH je v zadání jako proč? \\
Korekce na nejednotkovou aktivitu \ilm{H^+} iontů se dá provést tak, že se prostě přepočítá redoxní potenciál příslušné reakce. Uvažuje se, že pH a tudíž i koncentrace \ilm{H^+} se během elektrochemické reakce nebude měnit a proto lze jeho vliv přímo zahrnout do redoxního potenciálu.
- \FloatJail{
- \begin{calculation}
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet potenciálu, je-li uvažován vliv pH}{
\begin{align*}
E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= E^f(BrO_3^-/Br^-) + \frac{\num{0.0592}}{6} \log [H^+]^6 \\
E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.52} + \frac{\num{0.0592}}{6} \log 10^{-12} \\
E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.52} + \num{0.009867} \cdot \left(-12\right) \\
E^f(BrO_3^-/Br^-),k &= \num{1.402}\:[\si{\volt}]
\end{align*}
- \end{calculation}
}
Takto přepočtený potenciál by se použil v rovnici výše, vyšlo by pak \ilm{E = \num{1.396}\:\si{\volt}}.
-
- }
-\end{document}
\ No newline at end of file
+ \subsection{Test 14. 1. 2015}
+ \subsubsection{Příklad 1.}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte všeobecnou Brønstedovu rovnici a vypočítejte pH roztoku soli slabé kyseliny a silné báze. Koncentrace soli v roztoku je \ilm{c = \SI{1,5e-5}{\mpdm}}, \ilm{pK\textsubscript*{A} = \num{4,31}}
+
+ \noindent (\emph{Protože jde o stejný příklad jako \hyperref[tests:1:1]{zde}, je k vyřešení použit drobně odlišný postup užívající pK\textsubscript*{B} a [OH\textsuperscript*{-}], aby čtenář neupadl nudou do kómatu.})
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Zcela standardní příklad na \hyperref[ph:weak_acid_strg_base]{sůl slabé kyseliny a silné báze}.
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet se zanedbáním obou jevů}{
+ \begin{align*}
+ [OH^-] &= \sqrt{K_B c_{HA}} \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{2,042e-10} \cdot \num{1,5e-5}} \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{3,063e-15}} \\
+ [OH^-] &= \num{5,534e-8}\:[\si{\mpdm}] \\
+ pOH &= -\log\left(\num{5,534e-8}\right) = \num{7,256} \\
+ pH &= 14 - \num{7,256} \\
+ pH &= \num{6,743}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \noindent pH vychází kyselé, což je zřejmá blbost, protože pH solí silné zásady a slabé kyseliny musí být bazické. Je tedy nutné nezanedbat nějaký jev.
+
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola úbytku disociací}{
+ \rmm{ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{\num{5,534e-8}}{\num{1,5e-5}} = \num{0,004} }
+ \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Kontrola vlivu autoprotolýzy}{
+ \rmm{ \frac{K_W}{[OH^-]^2} = \frac{\num{1e-14}}{\num{3,063e-15}} = \num{3,265} }
+ \infloattext{\centering Nelze zanedbat \large{\Stopsign}}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet s korekcí na autoprotolýzu}{
+ \begin{align*}
+ [OH^-] &= \sqrt{K_b c_{HA} + K_W} \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{2,042e-10} \cdot \num{1,5e-5} + \num{1e-14}} \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{1,306e-14}} \\
+ [OH^-] &= \num{1,143}\:[\si{\mpdm}] \\
+ pOH &= \num{6,942} \\
+ pH &= \num{7,085}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad 2.}
+ \paragraph{Zadání}
+ Jaká je rozpustnost hydroxidu hlinitého při pH 4? \ilm{K_{S}(Al(OH)_{3}) = \num{1e-32}}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Úplně totéž, jako v \hyperref[prec:sol_ph]{cvičných příkladech}.
+
+ \FloatJail{calculation}{Rozpustnost hydroxidu hlinitého při pH 4}{
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ag^{3+}][OH^-]^3 \\
+ [Ag^{3+}] &= \frac{K_S}{[OH^-]^3} \\
+ [Ag^{3+}] &= \frac{\num{1e-32}}{(10^{-10})^3} \\
+ [Ag^{3+}] &= \num{0,01}\:[\si{\mpdm}]
+ \end{align*}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad 3.}
+ \paragraph{Zadání}
+ Napište rovnici oxidace cínatých iontů dichromanem a vypočítejte potenciál v ekvivalenci
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{E^\stdpot(Sn^{4+}/Sn^{2+})} && \SI{0.139}{\volt} \\
+ \ilm{E^\stdpot({Cr_2O_7}^{2-}/2\:Cr^{3+})} && \SI{1.360}{\volt} \\
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Nejdříve je nutné zapsat a vyčíslit rovnici reakce.
+
+ \FloatJail{theorem}{Rovnice reakce}{
+ \rmm{ 3\:Sn^{2+} + {Cr_2O_7}^{2-} + 14\:H^{+} \rightleftharpoons 3\:Sn^{4+} + 2\:Cr^{3+} + 7\:H_2O }
+
+ \begin{align*}
+ 2\:Cr^{6+} &\rightarrow 2\:Cr^{3+} &\Rightarrow -6e^{-} &\rightarrow 1 \\
+ Sn^{2+} &\rightarrow Sn^{4+} &\Rightarrow +2e^{-} &\rightarrow 3
+ \end{align*}
+ }
+
+ Potenciál v ekvivalenci, totéž jako \hyperref[redox:eekv]{tohle}
+ \begin{align*}
+ E_{ekv} &= \frac{n_1 E_1 + n_2 E_2}{n_1 + n_2} \\
+ E_{ekv} &= \frac{6 \cdot \num{1,360} + 2 \cdot \num{0,139}}{1 + 3} \\
+ E_{ekv} &= \frac{\num{8,438}}{8} \\
+ E_{ekv} &= \SI{1,055}{\volt}
+ \end{align*}
+
+ \subsubsection{Příklad 4.}
+ \paragraph{Zadání}
+ \SI{10}{\mL} roztoku piperazinu o koncentraci \SI{0,1}{\mpdm} je titrováno kyselinou chlorovodíkovou o koncentraci \SI{0,5}{\mpdm}. Spočítejte pH roztoku v níže uvedených bodech a načrtněte titrační křivku.
+ \begin{itemize}
+ \item Na počátku titrace
+ \item Po přidání \SI{1,5}{\mL} titračního činidla
+ \item Po přidání \SI{2,0}{\mL} titračního činidla
+ \end{itemize}
+ pK\textsubscript*{B,1} = \num{4,38} \\
+ pK\textsubscript*{B,2} = \num{8,69}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Příklad je jen variací na jednoduché acidobazické výpočty.
+
+ \FloatJail{calculation}{pH na počátku titrace}{
+ Spočítá se jako pH slabé báze a uvažuje se jen pK\textsubscript*{B,1}
+
+ \begin{align*}
+ [OH^-] &= \sqrt{K_{B,1} c_{B}} \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{4,169e-6}} \\
+ [OH^-] &= \num{0,002}\:[\si{\mpdm}] \\
+ pH &= \num{11,31}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{pH po přidání \SI{1,5}{\milli\litre} titračního činidla.}{
+
+ Titrace je v tomto bodě ještě před první ekvivalencí, spočítá se to tedy jako pH pufru slabé báze a silné kyseliny.
+ \begin{align*}
+ c_B &= \frac{c_{B,0}V_0 - c_{HCl}V_{HCl}}{V_0 + V_{HCl}} \\
+ c_B &= \frac{\num{0,1} \cdot 10 + \num{0,5} \cdot \num{1,5}}{10 + \num{1,5}} \\
+ c_B &= \num{0,022}\:[\si{\mpdm}]
+ \end{align*}
+ \begin{align*}
+ c_{BHCl} &= \frac{c_{HCl}V_{HCl}}{V_0 + V_{HCl}} \\
+ c_{BHCl} &= \frac{\num{0,5} \cdot \num{1,5}}{\num{11,5}} \\
+ c_{BHCl} &= \num{0,065}\:[\si{\mpdm}]
+ \end{align*}
+ \begin{align*}
+ [OH^-] &= K_{B,1} \frac{c_{B}}{c_{BHCl}} \\
+ [OH^-] &= \num{4,169e-5} \cdot \frac{\num{0,022}}{\num{0,065}} \\
+ [OH^-] &= \num{1,392e-5}\:[\si{\mpdm}] \\
+ pH &= \num{9,143}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{pH po přidání \SI{2,0}{\milli\litre} titračního činidla.}{
+
+ Po přidání \SI{2,0}{\milli\litre} HCl je dosaženo první ekvivalence. (HCl použitá k titraci je 5\ilm{\times} koncentrovanější než titrovaný vzorek). pH v první ekvivalenci při titraci dvousytné slabé báze lze spočítat následovně
+ \begin{align*}
+ pOH &= \frac{pK_{B,1} + pK_{B,2}}{2} \\
+ pOH &= \frac{\num{4,38} + \num{8,69}}{2} \\
+ pOH &= \num{6,54} \\
+ pH &= \num{7,47}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Body, kterými titrační křivka prochází}{
+ \begin{center}
+ \begin{tabular}{lSS}
+ \rdcol{c}{Bod} & \rdcol{c}{pH} & \rdcol{c}{V [\si{\milli\litre}]} \\ \midrule
+ Počátek titrace & 11,31 & 0 \\
+ Polovina první ekvivalence & 9,62 & 1 \\
+ První ekvivalence & 7,47 & 2 \\
+ Polovina druhé ekvivalence & 5,31 & 3 \\
+ Druhá ekvivalence & 3,29 & 4 \\
+ Nadbytek titr. činidla & 1,20 & 6
+ \end{tabular}
+ \end{center}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad 5.}
+ \paragraph{Zadání}
+ Spočítejte procentuální zastoupení komplexu ML a \ilm{ML_2} při koncentraci ligandu \ilm{c_L = \num{2,5e-3}}
+ \begin{tabular}{lc<{=~}S}
+ \ilm{\log K_1} && 3,5 \\
+ \ilm{\log K_2} && 2,5
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Totéž co \hyperref[cmpl:form_percents]{zde}, jen koncentrace ligandu je jiná.
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet hodnoty ve jmenovateli}{
+ \begin{align*}
+ X &= \sum_{i=1}^2 \beta [L]^i \\
+ X &= K_1 [L] + K_1 K_2 [L]^2 \\
+ X &= 10^{\num{3,5}} \cdot \num{2,5e-3} + 10^{\num{3,5}} \cdot 10^{\num{2,5}} \cdot \left(\num{2,5e-3}\right)^2 \\
+ X &= \num{7,907} + \num{6,250} \\
+ X &= \num{14,157}
+ \end{align*}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet zastoupení formy ML}{
+ \begin{align*}
+ \delta_{ML} &= \frac{\beta_1}{1 + X} \\
+ \delta_{ML} &= \frac{10^{\num{3,5}} \cdot \num{2,5e-3}}{\num{15,157}} \\
+ \delta_{ML} &= \frac{7,906}{15,157} \\
+ \delta_{ML} &= \num{0,522} \Rightarrow \num{52,2}\:\%
+ \end{align*}
+ }
+
+ \FloatJail{calculation}{Výpočet zastoupení formy \ilm{ML_2}}{
+ \begin{align*}
+ \delta_{ML_2} &= \frac{\beta_2}{1 + X} \\
+ \delta_{ML_2} &= \frac{10^{\num{3,5}} \cdot 10^{\num{2,5}} \cdot \left(\num{2,5e-3}\right)^2}{\num{15,157}} \\
+ \delta_{ML_2} &= \frac{6,250}{15,157} \\
+ \delta_{ML_2} &= \num{0,412} \Rightarrow \num{41,2}\:\%
+ \end{align*}
+ }
+
+
+\end{document}
git://gitweb.devoid-pointer.net / tzach_problems.git / commitdiff