--- /dev/null
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{booktabs}
+\usepackage{color}
+\usepackage{commath}
+\usepackage{float}
+\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm]{geometry}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{lastpage}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{mathspec}
+\usepackage{placeins}
+\usepackage{polyglossia}
+\usepackage{siunitx}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage{xltxtra}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{xcolor}
+
+\sisetup{output-decimal-marker = {,},
+ exponent-product = {\cdot}}
+
+\floatstyle{ruled}
+\newfloat{calculation}{!ht}{calc}
+\floatname{calculation}{Výpočet}
+
+\newfloat{theorem}{!ht}{theor}
+\floatname{theorem}{Rovnice}
+
+\setmainlanguage{czech}
+\PolyglossiaSetup{czech}{indentfirst=true}
+
+\setromanfont[Mapping=tex-text]{Minion Pro}
+\setallmainfonts(Digits,Latin,Greek){Minion Pro}
+
+\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201C}{\grqq}
+\DeclareUTFcharacter[\UTFencname]{x201E}{\glqq}
+
+\newcommand{\ilm}[1]{\(\mathrm{#1}\)}
+\newcommand{\rmm}[1]{\[\mathrm{#1}\]}
+\newcommand{\mpdm}{\si{\mol\per\cubic\deci\metre}}
+\newcommand{\gpm}{\si{\gram\per\mol}}
+\newcommand{\mL}{\si{\milli\litre}}
+\newcommand{\MV}{\milli\volt}
+\newcommand{\rdcol}[2]{\multicolumn{1}{#1}{#2}}
+\newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textminus}}\circ}}
+%\newcommand{\stdpot}{{\mathrlap{\textrm{\textendash}}\circ}}
+%\DeclareSIUnit[number-unit-product = {}]\absunit{AU}
+\newcommand{\infloattext}[1]{\parbox{\linewidth}{\vspace*{\baselineskip}#1}}
+\newcommand{\uv}[1]{\glqq{#1}\grqq}
+\newcommand{\FloatJail}[1]{\FloatBarrier #1 \FloatBarrier}
+\definecolor{redorange}{rgb}{1,0.2,0}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0.1,0.5,0.2}
+\definecolor{skyblue}{rgb}{0.0,0.1,0.5}
+\definecolor{sovietred}{rgb}{0.71,0.0,0.0}
+\newcommand{\cfbox}[2]{%
+ \colorlet{currentcolor}{.}%
+ {\color{#1}%
+ \fbox{\color{currentcolor}#2}}%
+}
+\widowpenalty=1000
+\clubpenalty=1000
+
+\title{Řešené příklady z Teoretických základů analytické chemie}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+
+\section{Intro}
+ \paragraph{}
+ Tento stručný dokument o pouhých \pageref{LastPage} stránkách obsahuje vyřešené příklady, jejichž zadání je k dispozici zde (\url{http://web.natur.cuni.cz/~nesmerak/index.html}). Řešení, postupy, odvození a výsledky jsou neoficiální, neverifikované a možná ne vždycky korektní. Příklady nejsou vyřešeny úplně všechny, ale jen ty, kde se řešitel dozví něco nového a které by se mohly objevit v zápočtovém testu.
+
+ \paragraph{}
+ Je pravděpodobné, že dokument bude postupně doplňován, opravován a aktualizován. Odkaz ke stažení nejaktuálnější verze najdete \hyperref[intro:info]{zde}. Jakékoliv připomínky, dotazy nebo řešení příkladů, které zde nejsou můžete spamovat na uvedený e-mail.
+
+ \paragraph{}
+ Příjemnou zábavu...
+
+ \begin{table}[b]
+ \label{intro:info}
+ \centering
+ \begin{tabular}{lr}
+ Verze & 1.0 (\today) \\
+ E-mail & \href{mailto:madcatxster@prifuk.cz}{madcatxster@prifuk.cz} \\
+ Download & \url{http://prifuk.cz/non_drupal/tzach/tzach_problems_solved.pdf} \\
+ \XeLaTeX ový zdroják & git://
+ \end{tabular}
+
+ \end{table}
+
+ \pagebreak
+
+\section{Protolytické rovnováhy}
+ \subsection{Výpočet pH silné kyseliny}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte pH roztoku kyseliny dusičné o koncentraci \num{1,0e-3}~\mpdm. Jaký vliv má na přesnost výpočtu iontová síla roztoku?
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Pro výpočet je nutné znát definici pH
+ \begin{theorem}
+ \caption{Definice pH}
+ \rmm{ pH = -\log a_{H_3O^+} }
+ Velmi často se užívá zjednodušené definice
+ \rmm{ pH = -\log [H_3O^+] }
+ \end{theorem}
+
+ Uvažuje se, že silná kyselina je vždy úplně disociována. V případě jednosytné kyseliny je pak \ilm{[H_3O^+]} rovná analytické koncentraci kyseliny.
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH bez vlivu iontové síly}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log [H_3O^+] \\
+ pH &= -\log c_{HNO_3} \\
+ pH &= -\log \num{1e-3} \\
+ pH &= \num{3,000}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ Pokud chceme uvažovat iontovou sílu, postupujeme takto
+ \begin{calculation}
+ \caption{Iontová síla}
+ \begin{align*}
+ I &= \frac{1}{2} \sum\limits^n_{i=1} c_i z_i^2 \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_3O^+} z_{H_3O^+}^2 + c_{NO_3^-} + z_{NO_3^-}^2\right) \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(\num{1,0e-3} \cdot 1^2 + \num{1,0e-3} \cdot 1^2\right) \\
+ I &= \frac{1}{2} \num{2,0e-3} \\
+ I &= \num{1,0e-3}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ \begin{calculation}
+ \caption{Aktivitní koeficientu McInnesovou aproximací}
+ \begin{align*}
+ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{H_3O^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\
+ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \num{3,162e-2}}{\num{1,032}} \\
+ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\frac{\num{1,610e-2}}{\num{1,032}} \\
+ \log(\gamma_{H_3O^+}) &= -\num{0,016} \\
+ \gamma_{H_3O^+} &= 10^{\num{-0,016}} \\
+ \gamma_{H_3O^+} = \num{0,964}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH s uvažováním iontové síly}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log \left([H_3O^+] \cdot \gamma_{H_3O^+}\right) \\
+ pH &= -\log \left(\num{1,0e-3} \cdot \num{0,964}\right) \\
+ pH &= \num{3,016}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH slabé kyseliny pomocí odvození z Brønstedovy rovnice - kyselina octová}
+ \label{ph:weak_acid}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \num{1,0e-2}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{4,75}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Z rovnice disociace kyseliny sestavíme vztah pro disociační konstantu. Vhodnou úpravou tohoho vztahu získáme vztah mezi disociační konstantou slabé kyseliny a pH jejího roztoku.
+ \FloatJail{
+ \begin{theorem}
+ \caption{Rovnice disociace}
+ \rmm{ HA + H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + A^- }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{theorem}
+ \caption{Disociační konstanta}
+ \rmm{ K_a = \frac{a_{H_3O^+} a_{A^-}}{a_{HA}} }
+ \centering
+ Zjednodušeně pomocí koncentrací
+ \rmm{ K_a = \frac{[H_3O^+] [A^-]}{[HA]} }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vyjádření \ilm{[H_3O^+]} ze vztahu pro disociační konstantu}
+ \infloattext{
+ \centering
+ \textbf{Zjednodušující předpoklady}\\
+ Z rovnice disociace je patrné, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} \\
+ Dále můžeme uvažovat, že \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}}
+ }
+ \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{[HA]}{[A^-]} }
+ \rmm{ [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}}{[H_3O^+] - \textcolor{redorange}{[OH^-]}} }
+
+ \infloattext{
+ \textcolor{redorange}{\ilm{[OH^-]}} - úbytek disociací:\\
+ Z předpokladu, že \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} to vypadá, jako by veškeré \ilm{H_3O^+} ionty v roztoku pocházely jen z disociace kyseliny. To ale není pravda, protože jde o vodný roztok kyseliny a voda disociuje také - viz \emph{autoprotolýza}. Aby předpoklad \ilm{[H_3O^+]} = \ilm{[A^-]} fakt platil, je třeba odečíst ty \ilm{H_3O^+} ionty, které autoprotolýzou vznikly. Všechny \ilm{H_3O^+} vzniklé autoprotolýzou mají protiont \ilm{OH^-}, viz rovnice autoprotolýzy; disociací kyseliny žádné \ilm{OH^-} ionty nevznikají. Proto je potřeba od celkové koncentrace \ilm{H_3O^+} odečíst koncentraci iontů \ilm{OH^-}. Výsledek pak udává koncentraci \ilm{H_3O^+} iontů, které vznikly pouze disociací kyseliny.
+ }
+ \infloattext{
+ \textcolor{darkgreen}{\ilm{[A^-]}} - úbytek disociací:\\
+ Úvaha \ilm{[HA]} = \ilm{c_{HA}} se nám snaží podsunout představu, že koncentrace nedisociované formy kyseliny je stejná jako celková (analytická) koncentrace kyseliny v roztoku. To je zřejmá blbost - kdyby to tak bylo, kyselina by nedisociovala vůbec. Pro určení skutečné [HA] je třeba od analytické koncentrace odečíst koncentraci kyseliny, co rozdisociovala. Výraz \ilm{c_{HA} - \textcolor{darkgreen}{[A^-]}} vypadá ve finální podobě po dosazení za \ilm{[A^-]} takto: \ilm{c_{HA} - [H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}.
+ }
+ \infloattext{
+ Při výpočtech se postupuje tak, že oba výše zmíněné nedostatky nejdříve směle ignorujeme a následně zkontrolujeme, jak masivní chyby jsme se těmito zanedbáními dopustili.
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH kyseliny octové ze zadání}
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+] &= K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+]} \\
+ [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= -\log \left(\sqrt{K_a c_{HA}}\right) \\
+ pH &= -\log \sqrt{10^{\num{-4,75}} \cdot \num{1,0e-2}} \\
+ pH &= -\log \sqrt{\num{1,778e-7}} \\
+ pH &= \num{3,375}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ Ověříme, zda použitá zjednodušení nezpůsobila kataklyzmatickou odchylku
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+ \[
+ K_W = [H_3O^+][OH^-] = 10^{-14}
+ \]
+
+ \[
+ \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-3,375}}\right)^2} = 10^{\num{-7,250}}
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ \ilm{10^{\num{-7,250}}} je menší než \num{0,05}, vliv autoprotolýzy není třeba uvažovat \large{\checkmark}
+ }
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ \[
+ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-3,375}}}{\num{1e-2}} = \num{0,042}
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ \num{0,042} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací taky netřeba řešit \large{\checkmark}
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet koncentrace slabé kyseliny s odvozením Brønstedovy rovnice - fenol}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fenolu o koncentraci \num{1,0e-4} \mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{9,98}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Začátek výpočtu je úplně stejný jako v \hyperref[ph:weak_acid]{předchozím příkladě}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH}
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+]^2 &= K_a c_{HA} \\
+ pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= -\log \sqrt{\num{1,047e-14}} \\
+ pH &= \num{6,990}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+ \[
+ \frac{[OH^-]}{[H_3O^+]} = \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\left(10^{\num{-6,990}}\right)^2} \approx 10^0
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ 1 je poněkud víc než \num{0,05}, autoprotolýzu je třeba uvažovat \large{\frownie{}}
+ }
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ \[
+ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{10^{\num{-6,990}}}{\num{1e-4}} = \num{0,001}
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ \num{0,001} je menší než \num{0,05}, úbytek disociací je v pohodě \large{\checkmark}
+ }
+ \end{calculation}
+ Taktické doporučení:\\
+ Pokud by vám někdy vyšlo, že nelze zanedbat ani jedno, s nejvyšší pravděpodobností jste někde udělali chybu. Pokus o uvažování obou jevů by vedl na kubickou rovnici, jejíž řešení je diplomaticky řečeno \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function\#General_formula_for_roots}{poněkud obtížnější}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH, je-li uvažována autoprotolýza}
+ \infloattext{
+ \centering
+ Upravená rovnice uvažující autoprotolýzu
+ }
+ \rmm{
+ [H_3O^+] = K_a \frac{c_{HA}}{[H_3O^+] - [OH^-]}
+ }
+ \rmm{
+ [H_3O^+]^2 - \textcolor{skyblue}{[H_3O^+][OH^-]} = K_a c_{HA}
+ }
+ \rmm{
+ [H_3O^+] = \sqrt{K_a c_{HA} + \textcolor{skyblue}{K_W}}
+ }
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+] &= \sqrt{10^{\num{9,98}} \cdot \num{1e-4} + 10^{-14}} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\num{2,047e-14}} \\
+ [H_3O^+] &= \num{1,431e-7}\:[\mpdm] \\
+ pH &= \num{6,844}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet koncentrace slabé báze s odvozením Brønstedovy rovnice - dimethylamin}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku dimethylaminu o koncentraci \num{1,0e-3}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_b}(dimethylamin) && \num{3,02}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Principiálně shodný se \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinou}.
+
+ \begin{theorem}
+ \caption{Rovnice disociace báze}
+ \rmm{ B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^- }
+ \end{theorem}
+
+ Z této rovnice můžeme vymyslet vztah pro disociační konstantu
+ \begin{theorem}
+ \caption{Disociační konstanta báze}
+ \rmm{ K_b = \frac{[BH^+] [OH^-]}{[B]} }
+ \infloattext{
+ \centering
+ Z té chceme vyjádřit \ilm{[OH^-]}
+ }
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{[B]}{[BH^+]}
+ }
+ \infloattext{
+ \centering
+ A protože \ilm{[BH^+] \approx [OH^-]} a \ilm{[B] \approx c_B}
+ }
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{c_B}{[OH^-]}
+ }
+ \infloattext{
+ \centering
+ Kdyby se uvažoval úbytek disociací a autoprotolýza, vypadala by rovnice takto:
+ }
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{c_B - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] + \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH dimethylaminu}
+ \begin{align*}
+ [OH^-]^2 &= K_b c_B \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\num{9,550e-7}} \\
+ [OH^-] &= \num{9,772e-4}\:[\mpdm] \\
+ pOH &= \num{3,01} \\
+ pH &= \num{10,99}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola autoprotolýzy}
+ \infloattext{
+ \centering
+ Bacha, zlomek je obráceně než při počítání s kyselinou
+ }
+ \[
+ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{K_W}{[OH^-]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{9,550e-7}} \approx 10^{-7}
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ V pohodě \large{\checkmark}
+ }
+ \end{calculation}
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola úbytku disociací}
+ \[
+ \frac{[OH^-]}{c_B} = \frac{\num{9,550e-7}}{\num{1e-3}} \approx \num{1e-3}
+ \]
+ \infloattext{
+ \centering
+ V pohodě \large{\checkmark}
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH vícesytné kyseliny - EDTA}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku EDTA o koncentraci \num{1,0e-2} \mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_{a,1}}(EDTA) && \num{1,99} \\
+ \ilm{pK_{a,2}}(EDTA) && \num{2,67} \\
+ \ilm{pK_{a,3}}(EDTA) && \num{6,18} \\
+ \ilm{pK_{a,4}}(EDTA) && \num{10,26}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Postup}
+ Brønstedova rovnice by se musela odvodit pro každý stupeň disociace. Platí následující vztahy:
+ \begin{theorem}
+ \caption{Celková koncentrace \ilm{[H_3O^+]}}
+ \rmm { [H_3O^+]_{celk} = \sum\limits^{n}_{i=1} [H_3O^+]_i }
+ \end{theorem}
+
+ Pokud je \ilm{K_{a,1} >> K_{a,2}}, je možné takovou kyselinu počítat jako jednosytnou kyselinu. \ilm{K_{a,1}} se považuje za fest větší než \ilm{K_{a,2}}, pokud se liší alespoň o \emph{tři} řády.
+
+ \begin{theorem}
+ \caption{Jako pro jednosytnou kyselinu}
+ \rmm{
+ [H_3O^+]_{celk} \approx [H_3O^+]_1 = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ }
+ \end{theorem}
+
+ V opačném případě je nutné uvažovat i další disociační stupeň.
+ \begin{theorem}
+ \caption{Výpočet s dalším disociačním stupněm}
+ \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_{(n-2)}A^{2-}] [H_3O^+]_1}{[H_{(n-1)}A^-]} }
+ \rmm{ [H_3O^+]_1 = [H_{(n-1)}A^-] }
+ \rmm{ [H_3O^+]_2 = [H_{(n-2)}A^{2-}] }
+ \rmm{ K_{a,2} = \frac{[H_3O^+]_2 [H_3O^+]_1}{[H_3O^+]_1} }
+ \rmm{ K_{a,2} = [H_3O^+]_2 }
+ \end{theorem}
+
+ \textbf{Výpočet pH EDTA ze zadání}
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ \FloatJail{
+ Nejdříve spočítáme \ilm{H_3O^+} jako by šlo o nudnou jednosytnou kyselinu
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} pro první disociační stupeň}
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+]_1 &= \sqrt{K_{a,1} c_{HA}} \\
+ [H_3O^+]_1 &= \num{1,015e-2}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \FloatJail{
+ Ověříme použitelnost obou zjednodušení
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola vlivu autoprotolýzy}
+ \[
+ \frac{K_W}{[H_3O^+]^2} = \frac{10^{-14}}{\num{1,023e-4}} \approx 10^{-10}
+ \]
+ \infloattext{\centering OK \large{\checkmark} }
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Kontrola vlivu úbytku disociací}
+ \[
+ \frac{[H_3O^+]}{c_{HA}} = \frac{\num{1,015e-2}}{\num{1e-2}} = \num{1,015}
+ \]
+ \infloattext{\centering Musí se uvažovat úbytek disociací \large{\frownie{}} }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \item Provedeme korekci na úbytek disociací
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet \ilm{[H_3O^+]} s vlivem úbytku disociace}
+ \rmm{
+ [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{[OH^-]}}
+ }
+ \infloattext{\centering Vlivem autoprotolýzy není třeba se stresovat }
+ \rmm{
+ [H_3O^+] = K_{a,1} \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}}}{[H_3O^+] + \textcolor{redorange}{\cancel{[OH^-]}}}
+ }
+ \infloattext{\centering Úprava rovnice vede na roztomilý matematický konstrukt známý jako \emph{kvadratická rovnice} }
+ \rmm{
+ [H_3O^+]^2 + K_{a,1}[H_3O^+] - K_{a,1} c_{HA} = 0
+ }
+ \begin{align*}
+ x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
+ x_{1,2} &= \frac{K_{a,1} \pm \sqrt{K_{a,1}^2 - 4 \cdot 1 \cdot K_{a,1} c_{HA}}}{2 \cdot 1} \\
+ x_1 &= \num{6,220e-3} \\
+ x_2 &= \num{-1,645e-2} \text{(nemá význam)}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \ilm{[H_3O^+]_1 = \num{6,220e-3}}~[\mpdm]
+
+ \item
+ \FloatJail{
+ Protože rozdíl \ilm{pK_{a,1}} a \ilm{pK_{a,2}} je menší než 3, musíme uvažovat i druhý disociační stupeň
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vliv druhého disociačního stupně}
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+]_{celk} &= [H_3O^+]_1 + K_{a,2} \\
+ [H_3O^+]_{celk} &= \num{6,220e-3} + \num{2,138e-3} \\
+ [H_3O^+]_{celk} &= \num{8,358e-3}\:[\mpdm] \\
+ pH &= -\log \num{8,358e-3} \\
+ pH &= \num{2,078}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+ \end{enumerate}
+ }
+
+ (Podle PeakMasteru je skutečné pH při uvažování všech disociačních konstant a vlivu autoprotolýzy \num{2,11})
+
+ \subsection{Výpočet pH soli slabé kyseliny a silné zásady - octan sodný}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku octanu sodného o koncentraci \num{1e-2}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a(CH_3COOH)} && \num{4,75}
+ \end{tabular}
+
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ V principu jde o totéž jako v případě \hyperref[ph:weak_acid]{slabé kyseliny}. Zase se sestaví vztah pro disociační konstantu, ze kterého se vyjádří koncentrace \ilm{H_3O^+} iontů.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{theorem}
+ \caption{Rovnice disociace soli slabé kyseliny a silné zásady}
+ \rmm{
+ NaA \rightleftharpoons Na^+ + A^-
+ }
+ \rmm{
+ A^- + H_2O \rightleftharpoons HA + OH^-
+ }
+ \infloattext{
+ Kation silné zásady bude vždycky v disociované formě, což se anionu slabé kyseliny moc nelíbí. Aby mohl anion slabé kyseliny \uv{naasociovat} zpátky, musí k tomu sebrat \ilm{H^+} z vody. Z tohoto důvodu jsou roztoky solí silné báze a slabé kyseliny zásadité.
+ }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{theorem}
+ \caption{Vztah pro disociační konstantu}
+ \rmm{
+ K_b = \frac{[HA][OH^-]}{[A^-]}
+ }
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{[A^-]}{[HA]}
+ }
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{c_{HA} - \cfbox{darkgreen}{\ilm{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}}}{[OH^-] - \textcolor{redorange}{[H_3O^+]}}
+ }
+ \infloattext{\centering Platí stejná zjednodušovací pravidla jako všude jinde}
+ \rmm{
+ [OH^-]^2 = K_b c_{HA}
+ }
+ \rmm{
+ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]^2}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}}c_{HA}
+ }
+ \rmm{
+ [H_3O^+] = \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}}
+ }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH octanu sodného ze zadání}
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\
+ [H_3O^+] &= \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{-4,75}}}{\num{1e-2}}} \\
+ pH &= \num{8,375}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vliv autoprotolýzy}
+ \rmm{
+ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-16,750}}}{10^{-14}} \approx 10^{-3}
+ }
+ \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
+ \end{calculation}
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vliv úbytku disociací}
+ \rmm{
+ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}}
+ }
+ \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH soli vícesytné kyseliny - fosforečnan draselný}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku fosforečnanu draselného o koncentraci \num{1e-3}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\
+ \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\
+ \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Protože \ilm{K_{a,n} << K_{a,1}}, uplatní se při disociaci jen poslední stupeň. Počítá se to pak jako sůl jednosytné kyseliny.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log \sqrt{\frac{K_W K_a}{c_{HA}}} \\
+ pH &= -\log \sqrt{\frac{10^{-14} \cdot 10^{\num{12,32}}}{10^{-3}}} \\
+ pH &= \num{11,66}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vliv autoprotolýzy}
+ \rmm{
+ \frac{[H_3O^+]}{[OH^-]} = \frac{10^{\num{-23,320}}}{10^{-14}} \approx 10^{-9}
+ }
+ \infloattext{\centering OK \large{\checkmark}}
+ \end{calculation}
+ \begin{calculation}
+ \caption{Vliv úbytku disociací}
+ \rmm{
+ \frac{[OH^-]}{c_{HA}} = \frac{10^{-5,625}}{10^{-2}} = \num{0,021}
+ }
+ \infloattext{\centering Nelze zanedbat, protože řešení kvadratických rovnic není nikdy dost otravné \large{\frownie{}}}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH fosforečnanu draselného s uvažováním úbytku disociací}
+ \rmm{
+ [OH^-] = K_b \frac{c_{NaA} - [OH^-]}{[OH^-]}
+ }
+ \rmm{
+ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} = \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{K_a}} \frac{c_{NaA} - \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }{ \textcolor{skyblue}{\frac{K_W}{[H_3O^+]}} }
+ }
+ \rmm{
+ [H_3O^+]^2 c_{NaA} - [H_3O^+]K_W - K_W K_a = 0
+ }
+ \begin{align*}
+ [H_3O^+] &= \num{1,046e-11} \\
+ pH &= \num{10,98}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH kyselého pufru}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte pH tlumivého roztoku obsahujícího \num{0,04}~\mpdm \ilm{NaH_2PO_4} a \num{0,02}~\mpdm \ilm{Na_2HPO_4}.
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_{a,1}} && \num{2,12} \\
+ \ilm{pK_{a,2}} && \num{7,21} \\
+ \ilm{pK_{a,3}} && \num{12,32}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Pokud nechceme uvažovat iontovou sílu, stačí nám obyčejná Hendersonova-Hasselbachova rovnice. Fosforečnan disodný vystupuje jako sůl, dihydrogenfosforečnan sodný jako kyselina.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH kyselého pufru z HH rovnice}
+ \begin{align*}
+ pH &= pK_a - \log \frac{c_{HA}}{c_{NaA}} \\
+ pH &= \num{7,21} -\log \frac{\num{0,04}}{\num{0,02}} \\
+ pH &= \num{6,909}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ Značná odlišnost od úředního výsledku je způsobená právě zanedbáním iontové síly.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Iontová síla}
+ \begin{align*}
+ I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=}^{n} c_i z_i^2 \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(c_{H_2PO_4^-}z_{H_2PO_4^-} + c_{HPO_4^{2-}}z_{HPO_4^{2-}} + c_{Na^+}z_{Na^+}\right) \\
+ I &= \frac{1}{2} \left(\num{0,04} \cdot 1^2 + \num{0,02} \cdot 2^2 + \num{0,08} \cdot 1^2\right) \\
+ I &= \num{0,100}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Aktivitní koeficenty jednotlivých iontů dle McInnesovy aproximace}
+ \infloattext{
+ Kvůli rozvleklému a nezajímavému postupu jsou uvedeny jen výsledky
+ }
+ \begin{align*}
+ \gamma_{Na^+} &= 10^{\num{-0,122}} = \num{0,755} \\
+ \gamma_{H_2PO_4^-} &= 10^{\num{-0,122}} = \num{0,755} \\
+ \gamma_{HPO_4^{2-}} &= 10^{\num{-0,244}} = \num{0,570} \\
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace kyseliny a soli korigované příslušným středním aktivitním koeficienem}
+ \begin{align*}
+ a_{NaH_2PO_4} &= \num{0,04} \cdot \gamma_{Na^+} \cdot \gamma_{H_2PO_4^-} = \num{0,023} \\
+ a_{Na_2HPO_4} &= \num{0,02} \cdot \gamma_{Na^+}^2 \cdot\gamma_{HPO_4^{2-}} = \num{0,006}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{HH rovnice s aktivitami místo koncentrací}
+ \begin{align*}
+ pH &= pK_a - \log \frac{a_{HA}}{a_{NaA}} \\
+ pH &= pK_a - \log \frac{\num{0,023}}{\num{0,006}} \\
+ pH &= \num{6,626}
+ \end{align*}
+
+ \infloattext{
+ I tento výsledek se liší od oficiálního (\num{6,54}), nicméně PeakMaster souhlasí s se mnou!
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH roztoků při zadané koncentraci H\textsubscript{3}O\textsuperscript{+} či OH\textsuperscript{-}}
+ \FloatJail{
+ \begin{itemize}
+ \item \begin{align*}
+ pH &= -\log [H_3O^+] \\
+ pH &= -\log \num{0,0016} \\
+ pH &= \num{2,796}
+ \end{align*}
+ \item \begin{align*}
+ pH &= -\log [H_3O^+] \\
+ pH &= -\log \num{1,0} \\
+ pH &= \num{0,000}
+ \end{align*}
+ \item \begin{align*}
+ pH &= 14 +\log [OH^-] \\
+ pH &= 14 +\log \num{0,5} \\
+ pH &= \num{13,699}
+ \end{align*}
+ \end{itemize}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH ze známé koncentrace silné kyseliny či báze}
+ \FloatJail{
+ \begin{itemize}
+ \item
+ \ilm{\num{0,03}\:\mpdm\:H_2SO_4}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log [H_3O^+] \\
+ pH &= -\log \num{0,06}\:\text{(dvojsytná!)} \\
+ pH &= \num{1,222}
+ \end{align*}
+
+ \item
+ \ilm{\num{0,2}\:\mpdm\:Ba(OH)_2}
+ \begin{align*}
+ pH &= 14 +\log [OH^-] \\
+ pH &= 14 +\log \num{0,1}\:\text{(dvojsytná!)} \\
+ pH &= \num{13,602}
+ \end{align*}
+ \end{itemize}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH HCN - slabá kyselina}
+ \paragraph{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny kyanovodíkové o koncentraci \num{0,5}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{9,30}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Stejný jako pro každou jinou \hyperref[ph:weak_acid]{slabou kyselinu}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Výpočet pH HCN}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= -\log \left(\num{1,583e-5}\right) \\
+ pH &= \num{4,801}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH s bonusovým krokem výpočtu molární koncentrace zadané látky}
+ \paragraph{Zadání}
+ Jaké je pH roztoku 1~\si{\gram} anilinu v 1000~\mL vody? \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_b} && \num{9,30} \\
+ \ilm{M(anilin)} && \num{93,13}\:\gpm
+ \end{tabular} \\
+ \textcolor{sovietred}{Pozor, v zadání je uvedeno \ilm{pK_a} místo \ilm{pK_b}, což je samozřejmě chyba.}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Stejný jako pro libovolnou slabou bázi, nejdřív je ale nutné spočítat koncentraci anilinu v roztoku.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace anilinu}
+ \begin{align*}
+ c &= \frac{n}{V} \\
+ c &= \frac{m}{VM} \\
+ c &= \frac{1}{1 \num{93,13}} \\
+ c &= \num{1,074}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH anilinu}
+ \begin{align*}
+ pOH &= -\log \sqrt{K_b c_B} \\
+ pOH &= -\log \num{2,320e-6} \\
+ pOH &= \num{5,635} \\
+ pH &= \num{8,365}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet množství kyseliny nutného k přípravě roztoku o zadaném pH}
+ \paragraph{Zadání}
+ Kolik gramů benzoové kyseliny (pKa = 4,20) je třeba rozpustit na přípravu 2000~\mL roztoku o pH = \num{2,85}. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{4,20} \\
+ \ilm{M (C_6H_5COOH)} && \num{122,12}\:\gpm
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Postupuje se stejně jako při výpočtu pH \hyperref[ph:weak_acid]{slabé báze}, akorát se rovnice trochu zpřehází, abychom dostali hmotnost.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Navážka kyseliny benzoové nutná k přípravě zadaného roztoku}
+ \begin{align*}
+ pH &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ 10^{-pH} &= \sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= c_{HA} \\
+ MV \frac{10^{-2 \cdot pH}}{K_a} &= m_{HA} \\
+ 2 \cdot 1 \frac{10^{\num{-5,700}}}{10^{\num{-4,20}}} &= m_{HA} \\
+ m_{HA} &= \num{7,723}\:[\si{\gram}]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet pH kyseliny, je-li znám její hmotnostní zlomek}
+ \label{ph:vinegar}
+ \paragraph{Zadání}
+ Jaké je pH 8\% octa. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{4,75} \\
+ \ilm{\rho_{ocet}} && \num{1,0097}\:\si{\gram\per\milli\litre} \\
+ \ilm{M(CH_3COOH)} && \num{60,05}\:\gpm
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Skoro totéž jako v předchozích dvou příkladech, jen je nutné koncentraci spočítat z hmotnostního zlomku
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace octa z hmotnostního zlomku}
+ \begin{align*}
+ m_{ocet} &= w \rho_{ocet} \\
+ c_{ocet} &= \frac{w \rho_{ocet}}{M V} \\
+ c_{ocet} &= \frac{\num{0,08} \cdot \num{1,0097}}{\num{60,05} \cdot \num{0,001}} \\
+ c_{ocet} &= \num{1,345}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH 8\% octa}
+ \begin{align*}
+ pH &= -\log\sqrt{K_a c_{HA}} \\
+ pH &= \num{2,311}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet hmotnostního zlomku látky v roztoku o zadaném pH}
+ \paragraph{Zadání}
+ Kolika procentní je vodný roztok amoniaku o pH = \num{10,5}. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_b(NH_3)} && \num{4,74} \\
+ \ilm{M(NH_3)} && \num{17,031}~\gpm
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Totéž, co příklad s \hyperref[ph:vinegar]{octem}, jenže obráceně.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace amoniaku v roztoku}
+ \begin{align*}
+ [OH^-] &= \sqrt{K_b c_B} \\
+ \frac{[OH^{-}]^2}{K_b} &= c_B \\
+ c_B &= \frac{10^{-2 \cdot(14 - \num{10,5})}}{10^{-4,74}} \\
+ c_B &= \num{5,500e-3}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Hmotnostní zlomek amoniaku v roztoku}
+ \infloattext{
+ Pro co nejjednodušší výpočet bude za objem vždy dosazena hodnota 1~\si{\litre}. V tomto případě totiž platí, že \ilm{c_{NH_3} = n_{NH_3}}.
+ }
+ \begin{align*}
+ w_{NH_3} &= \frac{m_{NH_3}}{m_{celk}} \\
+ w_{NH_3} &= \frac{n_{NH_3} \cdot M_{NH_3}}{n_{NH_3} \cdot M_{NH_3} + \rho_{H_2O} \cdot V_{roztok}} \\
+ w_{NH_3} &= \frac{\num{5,500e-3} \cdot {17,031}}{\num{5,500e-3} \cdot {17,031} + 1000} \\
+ w_{NH_3} &= \num{9,366e-5} \\
+ w_{NH_3} &= \num{9,366e-3}\%
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+\section{Srážecí rovnováhy}
+ \subsection{Výpočet součinu rozpustnosti}
+ \label{prec:ks}
+ \subsubsection{Fosforečnan stříbrný}
+ \paragraph{Zadání}
+ Jaký je součin rozpustnosti fosforečnanu stříbrného, je-li k rozpuštění jednoho gramu této sloučeniny potřeba \textcolor{sovietred}{149} litrů destilované vody. \\
+ \textcolor{sovietred}{V zadání je uvedeno 133 litrů, což je IMHO špatně. M i \ilm{K_S} pro \ilm{Ag_3PO_4} jsou OK, tudíž špatně musí být objem vody, ve kterém se 1~\si{\gram} fosforečnanu stříbrného rozpustí. Možná, že by to vyšlo, kdyby se uvažoval vliv iontové síly.} \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{M(Ag_3PO_4)} && \num{418,576}~\gpm
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočte se koncentrace rozpuštěného fosforečnanu stříbrného, ze které se pak spočítá součin rozpustnosti.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{theorem}
+ \caption{Součin rozpustnosti}
+ \rmm{
+ K_S = (a^{m+})^n (a^{n-})^m
+ }
+ \infloattext{
+ \centering
+ Zjednodušeně lze uvažovat s koncentracemi místo aktivit
+ }
+ \rmm{
+ K_S = [a^{m+}]^n [a^{n-}]^m
+ }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace rozpuštěného \ilm{Ag_3PO_4}}
+ \begin{align*}
+ c &= \frac{n}{V} \\
+ c &= \frac{m}{MV} \\
+ c &= \frac{1}{\num{418,576} \cdot 149} \\
+ c &= \num{1,604e-5}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Součin rozpustnosti \ilm{Ag_3PO_4}}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ag^+]^3 [PO_4] \\
+ K_S &= (3c)^3 c \\
+ K_S &= 27c^4 \\
+ K_S &= 27(\num{1,604e-5})^4 \\
+ K_S &= \num{1,787e-18}
+ \end{align*}
+ \infloattext{
+ Proč se koncentrace \ilm{Ag^+} iontů násobí 3\ilm{\times}? Proto, že z jednoho molu fosforečnanu stříbrného vzniknou tři ionty \ilm{Ag^+}.
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Síran barnatý}
+ \paragraph{Zadání}
+ Ve 250~\mL nasyceného roztoku síranu barnatého je rozpuštěno právě \num{0,607}~\si{\milli\gram} této látky. Vypočítejte součin rozpustnosti této soli. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{M(BaSO_4)} && \num{233,39}~\gpm
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Stejný princip jako v předchozím příkladu
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace rozpuštěného \ilm{BaSO_4}}
+ \begin{align*}
+ c &= \frac{n}{V} \\
+ c &= \frac{m}{MV} \\
+ c &= \frac{\num{6,07e-4}}{\num{233,39} \cdot \num{0,250}} \\
+ c &= \num{1,040e-5}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Součin rozpustnosti \ilm{BaSO_4}}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ba^{2+}] [SO_4] \\
+ K_S &= c^2 \\
+ K_S &= (\num{1,040e-5})^2 \\
+ K_S &= \num{1,082e-10}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{V jakém objemu se zcela rozpustí daná látka}
+ \paragraph{Zadání}
+ V jakém objemu vody se rozpustí právě jeden gram sulfidu rtuťnatého? \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{M(HgS)} && \num{232,65}~\gpm \\
+ \ilm{K_S(HgS)} && \num{5,0e-54}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočítáme molární rozpustnost sulfidu rtuťnatého a z ní potřebný objem na rozpuštění zadaného množství.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Molární rozpustnost HgS}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Hg^+][S^-] \\
+ K_S &= c^2 \\
+ c &= \sqrt{K_S} \\
+ c &= \num{2,236e-27}\:[\mpdm] \\
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Objem nutný k rozpuštění zadaného množství}
+ \begin{align*}
+ n &= \frac{m}{M} \\
+ c &= \frac{m}{MV} \\
+ V &= \frac{1}{\num{232,65} \cdot \num{2,236e-27}} \\
+ V &= \num{1,922e24}\:[\si{\cubic\deci\metre}] \\
+ V &= \num{1,922e18}\:[\si{\cubic\kilo\metre}]
+ \end{align*}
+ \infloattext{
+ (Jen tak mimochodem, celkový objem vody v oceánech je \num{1,37e9}~\si{\cubic\kilo\metre})
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet součinu rozpustnosti látek z údajů o jejich rozpustnosti}
+ \subsubsection{Příklad \uv{D}}
+ \paragraph{Zadání}
+ \num{0,2608}~\si{\gram} \ilm{Ag_2CrO_4} (M = \ilm{331,77}~\gpm) v 6 litrech nasyceného roztoku.
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Výpočet je stejný jako v \hyperref[prec:ks]{prvním příkladu}
+ \begin{calculation}
+ \caption{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Ag_2CrO_4}}
+ \begin{align*}
+ c &= \frac{\num{0,2608}}{6 \cdot \num{331,77}} \\
+ c &= \num{1,310e-4}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Součin rozpustnosti}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ag^+]^2 [CrO_4] \\
+ K_S &= (2c)^2 c \\
+ K_S &= 4c^3 \\
+ K_S &= 4 \cdot \num{1,310e-4}^3 \\
+ K_S &= \num{8,992e-12}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{F}}
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Zadání}
+ \num{0,165}~\si{\milli\gram} \ilm{Pb_3(PO_4)_2} (M = \num{811,58}~\gpm) v 1200 ml nasyceného roztoku.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Rozpuštěná koncentrace \ilm{Pb_3(PO_4)_2}}
+ \begin{align*}
+ c &= \frac{m}{MV} \\
+ c &= \frac{\num{1,65e-4}}{\num{811,58} \cdot \num{1,2}} \\
+ c &= \num{1,694e-7}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Součin rozpustnosti}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Pb^{2+}]^3[PO_4]^2 \\
+ K_S &= (3c)^3 (2c)^2 \\
+ K_S &= 27c^3 \cdot 4c^2 \\
+ K_S &= 108c^5 \\
+ K_S &= 108 \cdot \num{1,694e-6}^5 \\
+ K_S &= \num{1,506e-32}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ Zbytek příkladů z této sekce se počítá úplně stejně...
+
+ \subsection{Výpočet rozpustnosti látky v roztoku, který obsahuje další dobře rozpustnou látku, která má/nemá s danou látkou společný ion}
+ \subsubsection{Příklad \uv{A}}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte molární rozpustnost AgCl v \num{0,01}~\mpdm \ilm{KNO_3} \\
+ \begin{tabular}{l<{=}cr}
+ \ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ \label{prec:ks_common}
+ Dusičnan draselný nemá s chloridem stříbrným žádný společný ion. Rozpustnost chloridu stříbrného je ovlivněna iontovou silou, která je vyšší přítomností dusičnanu draselného.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Iontová síla}
+ \begin{align*}
+ I &= \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n c_i z_i^2 \\
+ I &= \frac{1}{2} (\num{0,01} \cdot 1^2 + \num{0,01} \cdot 1^2) \\
+ I &= \num{0,01}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Aktivitní koeficient McInnesovou aproximací}
+ \begin{align*}
+ \log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot z_{K^+}^2 \sqrt{I}}{1 + \sqrt{I}} \\
+ \log(\gamma_{K^+}) &= -\frac{\num{0,509} \cdot 1 \sqrt{\num{0,01}}}{1 + \sqrt{\num{0,01}}} \\
+ \log(\gamma_{K^+}) &= \num{-0,046} \\
+ \gamma_{K^+} &= 10^{-0,046} \\
+ \gamma_{K^+} &= \num{0,899}
+ \end{align*}
+ \infloattext{\centering Aktivitní koeficient \ilm{NO_3^-} je stejný. }
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Molární rozpustnost}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ag]\gamma_{K^+} [Cl]\gamma_{NO_3^-} \\
+ K_S &= c^2 \gamma^2 \\
+ c^2 &= \frac{K_S}{\gamma_\pm^2} \\
+ c &= \frac{\sqrt{K_S}}{\gamma_\pm} \\
+ c &= \num{1,573e-5}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \infloattext{
+ \textcolor{sovietred}{V oficiálních výsledcích je uvedeno \num{1,41e-5}~\mpdm, což by byla pravda, kdyby se neuvažoval vliv iontové síly \ilm{KNO_3}}
+ }
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{B}}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte molární rozpustnost AgCl v \num{0,01}~\mpdm \ilm{KCl} \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{K_S(AgCl)} && \num{2e-10}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ V roztoku je přítomen dobře rozpustný chlorid draselný. Chlorid stříbrný má proto problém nacpat \uv{svoje} \ilm{Cl^-} do roztoku, protože už jich tam je dost z KCl a bude se proto rozpouštět méně. Správně by se ještě měl uvažovat vliv iontové síly, ale v testu to po vás (snad) nikdo nebude chtít.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Molární rozpustnost}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Ag] c_{Cl^-} \\
+ [Ag] &= \frac{K_S}{c_{Cl^-}} \\
+ [Ag] &= \frac{\num{2e-10}}{\num{0,01}} \\
+ [Ag] &= \num{2e-8}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Rozpouštění látky při promývání}
+ \paragraph{Zadání}
+ Kolik mg thallia přejde do roztoku, jestliže sraženina chromanu thalného byla na filtru třikrát promyta 50~\mL\space vody (předpokládejte, bylo vždy dosaženo rovnováhy mezi tuhou fází a roztokem).
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{M(Tl)} && \num{204,37}~\gpm \\
+ \ilm{K_S(Tl_2CrO_4)} && \num{9,8e-13}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočítá se rozpustnost chromanu thallného v 50~\mL\space vody a výsledek se vynásobí třemi :)
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Molární rozpustnost}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Tl^+]^2[CrO_4^-] \\
+ K_S &= 4c^3 \\
+ c &= \sqrt{K_S} \\
+ c &= \num{6,257e-5}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Hmotnost thallia rozpuštěného v 50~\mL vody}
+ \begin{align*}
+ n_{Tl_2CrO_4} &= cV \\
+ n_{Tl} &= 2n_{Tl_2CrO_4} \\
+ m_{Tl} &= 2 \cdot cVM \\
+ m_{Tl} &= 2 \cdot \num{6,257e-5} \cdot \num{0,05} \cdot \num{204,37} \\
+ m_{Tl} &= \num{0,00128}\:[\si{\gram}] \\
+ m_{Tl, celk} &= 3 m_{Tl} \\
+ m_{Tl, celk} &= \num{0,00384}\:[\si{\gram}]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Rozpustnost při daném pH}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte rozpustnost \ilm{Al(OH)_3} při pH = 4. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{K_S(Al(OH)_3)} && \num{1e-32}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-}, pak se postupuje stejně jako při výpočtu rozpustnosti v příkladě, kdy je v roztoku \hyperref[prec:ks_common]{přítomna další látka mající s danou látkou společný iont}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Molární rozpustnost}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Al][OH^-]^3 \\
+ K_S &= c \cdot {10^{-(14-pH)}}^3 \\
+ c &= \frac{K_S}{10^{3(-14+pH)}} \\
+ c &= \frac{\num{1e-32}}{10^{-30}} \\
+ c &= \num{1e-2}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{pH, při kterém se začne tvořit sraženina}
+ \subsubsection{Příklad \uv{A}}
+ \label{prec:ks_fe_hyd}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte pH, při němž se z \num{0,1}~\mpdm\space roztoku iontů \ilm{Fe^{3+}} začíná vylučovat hydroxid železitý.
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočítá se koncentrace \ilm{OH^-} kationů, která je přítomna v roztoku, aby se rozpustilo právě \num{0,1}~\mpdm\space\ilm{Fe^{3+}} iontů. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{K_S(Fe(OH)_3)} && \num{2e-39}
+ \end{tabular}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Fe^{3+}] [OH^-]^3 \\
+ K_S &= c_{Fe^{3+}} [OH^-]^3 \\
+ [OH^-] &= \sqrt[3]{\frac{K_S}{c_{Fe^{3+}}}} \\
+ [OH^-] &= \num{2,714e-13}\:[\mpdm]\\
+ pH &= 14 + \log \num{2,714e-13} \\
+ pH &= \num{1,434}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{B}}
+ Vypočítejte pH, při němž se z \num{0,1}~\mpdm\space roztoku iontů \ilm{Mg^{2+}} začíná vylučovat hydroxid hořečnatý. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{K_S(Mg(OH)_2)} && \num{1,1e-11}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Stejný jako v \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{předchozím příkladě}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{OH^-}}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\
+ K_S &= c_{Mg^{2+}} [OH^-]^2 \\
+ [OH^-] &= \sqrt{\frac{K_S}{c_{Mg^{2+}}}} \\
+ pH &= 14 + \log \num{1,049e-5} \\
+ pH &= \num{9,021}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{C}}
+ \label{prec:ks_buffer_ph}
+ \paragraph{Zadání}
+ Jaká koncentrace \ilm{Mg^{2+}} v \mpdm\space může existovat v roztoku, který obsahuje \num{0,5}~\mpdm\space \ilm{NH_4Cl} a \num{0,1}~\mpdm\space \ilm{NH_3}?
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Příklad je typově skoro stejný jako \hyperref[prec:ks_fe_hyd]{dva předchozí}. Známe pH roztoku, takže známe koncentraci \ilm{OH^-}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{pH roztoku}
+ \begin{align*}
+ pH &= pKa + \log\frac{c_B}{c_{BHCl}} \\
+ pH &= -\log\left(\num{-5,55e-11}\right) + \log\frac{\num{0,1}}{\num{0,5}} \\
+ pH &= \num{8,556} \\
+ pOH &= \num{5,443}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{Mg^{2+}}}
+ \begin{align*}
+ K_S &= [Mg^{2+}] [OH^-]^2 \\
+ [Mg^{2+}] &= \frac{K_S}{[OH^-]^2} \\
+ [Mg^{2+}] &= \frac{\num{1,1e-11}}{\num{1,1e-11}} \\
+ [Mg^{2+}] &= \num{0,846}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{D}}
+ \paragraph{Zadání}
+ Kolik molů amonné soli musí být v 1 litru roztoku, který obsahuje \num{0,1}~\si{\mol}\space\ilm{Mg^{2+}} a \num{0,6}~\si{\mol}\space\ilm{NH_3}, aby nedošlo k vysrážení \ilm{Mg(OH)_2}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Inverzní příklad k příkladu \hyperref[prec:ks_buffer_ph]{předchozímu}. Spočítalo by se, při jakém pH by se hydroxid hořečnatý rozpustil a z této informace by se určilo složení pufru.
+
+\section{Oxidačně-redukční rovnováhy}
+ \subsection{Směr oxidačně-redukční reakce}
+ \paragraph{Zadání}
+ Určete směr oxidačně-redukční reakce \ilm{2 Fe^{3+} + 2 I^- \rightleftharpoons 2 Fe^{2+} + I_2} \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{E^\stdpot(I_2/2I^-)} && \num{+0,57}~\si{\volt} \\
+ \ilm{E^\stdpot(Fe^{3+}/Fe^{2+})} && \num{+0,77}~\si{\volt}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Jsou-li redoxní potenciály zapsány takto - jako rozdíl potenciálu oxidované a redukované formy, platí, že čím je tento potenciál vyšší, tím účinnější oxidační činidlo je oxidovaná forma dané látky. Je zřejmé, že železitý iont je silnější oxidační činidlo než jód. Železitý ion tedy bude oxidovat jodidy na jód - reakce poběží zleva doprava.
+
+ \subsection{Výpočet rovnovážné konstanty redoxní reakce}
+ \subsubsection{Příklad \uv{A}}
+ \label{redox:k}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočtěte rovnovážné konstanty této reakce \\
+ \rmm { 2\:I^- + 2\:HNO_2 + 2\:H^+ \rightleftharpoons I_2 + 2\:NO + 2\:H_2O }
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{E^\stdpot(\frac{1}{2}I_2/I^-(aq))} && \num{+0,62}~\si{\volt} \\
+ \ilm{E^\stdpot(HNO_2/NO)} && \num{+1,00}~\si{\volt} \\
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Vyjdeme z následujících vztahů:
+ \begin{theorem}
+ \caption{Gibbsova energie reakce}
+ \rmm{ \Delta G = -RT \ln K }
+ \rmm{ \Delta G = -nFE}
+ \end{theorem}
+
+ Stechiometrické koeficienty rovnice vydělíme dvěma. \\
+ \rmm { I^- + HNO_2 + 2\:H^+ \rightleftharpoons \frac{1}{2}I_2 + NO + H_2O }
+ \begin{calculation}
+ \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}
+ \begin{align*}
+ -RT \ln K &= -nFE \\
+ \ln K &= \frac{nFE}{RT} \\
+ K &= \exp \left(\frac{nFE}{RT}\right) \\
+ K &= \exp \left( \frac{1 \cdot \num{96485} \cdot \left(\num{0,62} - \num{1,00}\right)}{\num{8,314} \cdot 298} \right) \\
+ K &= \num{3,742e-7}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{B}}
+ Vypočtěte rovnovážné konstanty této reakce \\
+ \rmm{ 6\:Br^- + Cr_2O_7^{2-} + 14\:H^+ \rightleftharpoons 3\:Br_2 + 2\:Cr^{3+} + 7\:H_2O }
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{E^\stdpot(\frac{1}{2}Br_2/Br^-)} && \num{+1,09}~\si{\volt} \\
+ \ilm{E^\stdpot(\frac{1}{2}Cr_2O_7/Cr^{3+})} && \num{+1,33}~\si{\volt}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Úplně stejně jako \hyperref[redox:k]{prve}.
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Rovnovážná konstanta redoxní reakce}
+ \begin{align*}
+ K &= \exp \left(\frac{nFE}{RT}\right) \\
+ K &= \exp \left(\frac{6 \cdot \num{96485} \left(\num{1,33} - \num{1,09}\right)}{\num{8,314} \cdot 298}\right) \\
+ K &= \num{2,262e24}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet bodu ekvivalence titrace}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte potenciál bodu ekvivalence při titraci iontů \ilm{Cr^{2+}} jodometricky. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{E^\stdpot(I_2/2I^–)} && \num{+0,54}~\si{\volt} \\
+ \ilm{E^\stdpot(Cr^{3+}/Cr^{2+})} && \num{-0,41}~\si{\volt}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Tato redoxní reakce běží dle následující rovnice
+
+ \begin{theorem}
+ \caption{Oxidace \ilm{Cr^{2+}} jódem}
+ \rmm{
+ 2Cr^{2+} + I_2 \rightleftharpoons 2Cr^{3+} + 2I^-
+ }
+ \end{theorem}
+
+ Potenciál v bodu ekvivalence lze vypočítat \emph{Lutherovým vztahem}
+ \begin{theorem}
+ \caption{Lutherův vztah}
+ \rmm{
+ E_{ekv} = \frac{n_2 E_1 + n_1 E_2}{n_1 + n_2}
+ }
+ \end{theorem}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Potenciál v bodu ekvivalence}
+ \begin{align*}
+ E_{ekv} &= \frac{2 \cdot \num{0,54} + 1 \cdot \num{-0,41}}{1 + 2} \\
+ E_{ekv} &= \frac{\num{0,67}}{3} \\
+ E_{ekv} &= \num{0,223}\:[\si{\volt}]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+\section{Komplexotvorné rovnováhy}
+ \subsection{Výpočet rovnovážných koncentrací kovových iontů}
+ \paragraph{Obecné zadání}
+ Vypočítejte rovnovážnou koncentraci kovových iontů v následujících roztocích
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{A}}
+ \label{cpx:eqc}
+ \paragraph{Zadání}
+ \num{1,666} \si{\gram} \ilm{Al_2(SO_4)_3} (M = \num{666,41}~\gpm) bylo rozpuštěno ve \num{100,00}~\mL\space vody, smíseno s \num{50,00}~\mL\space roztoku EDTA o koncentraci \num{0,1}~\mpdm\space a zředěno na celkový objem \num{200,00}~\mL. \\
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{\log \beta(AlY^-)} && \num{16,13}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Spočítá se koncentrace všech složek roztoku a ze vztahu pro konstantu stability se určí koncentrace nazakomplexovaného kovu.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Analytická koncentrace \ilm{Al^{3+}} iontů}
+ \[
+ n_{Al_2(SO_4)_3} = \frac{m}{M} = \frac{\num{1,666}}{\num{666,41}} = \num{2,500e-3}\:[\si{\mol}]
+ \]
+ \[
+ n_{Al^{3+}} = 2 \cdot n_{Al_2(SO_4)_3} = \num{5,000e-3}\:[\si{\mol}]
+ \]
+ \[
+ c_{Al^{3+}} = \frac{n}{V} = \frac{\num{5,000e-3}}{\num{0,2}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Analytická koncentrace EDTA}
+ \[
+ c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \frac{V_{EDTA,0}}{V_{celk}} = \num{0,1} \cdot \frac{\num{50,00}}{\num{200,00}} = \num{2,500e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ \end{calculation}
+
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{[Al^{3+}]}}
+ \begin{align*}
+ \beta &= \frac{[AlY^-]}{[Al^{3+}][Y]} \\
+ [Al^{3+}] &= \frac{[AlY^-]}{\Beta(AlY^-) [Y]}
+ \end{align*}
+
+ Protože koncentrace \ilm{Al_2(SO_4)_3} je stejná jako koncentrace EDTA platí, že \ilm{[Al^{3+}] = [Y]}
+
+ \begin{align*}
+ [Al^{3+}][Y] &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
+ [Al^{3+}]^2 &= \frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)} \\
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{[AlY^-]}{\beta(AlY^-)}}
+ \end{align*}
+
+ Koncentrace komplexu \ilm{[AlY^-]} je (skoro) rovná koncentraci EDTA.
+
+ \begin{align*}
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\frac{\num{2,500e-2}}{10^{\num{16,13}}}} \\
+ [Al^{3+}] &= \sqrt{\num{1,853e-18}} \\
+ [Al^{3+}] &= \num{1,361e-9}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{B}}
+ \paragraph{Zadání}
+ \num{0,828} \si{\gram} \ilm{Pb(NO_3)_2} (M = \num{331,2} \gpm) bylo rozpuštěno ve \num{100,00}~\mL\space vody a smíseno se \num{125,00} \mL\space roztoku EDTA o koncentraci \ilm{c_{EDTA,0}} = \num{0,02} \mpdm. \\
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{\log \beta(PbY^-)} && \num{18,0}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Stejný jako v \hyperref[cpx:eqc]{příkladu \uv{A}}.
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Analytická koncentrace \ilm{Pb^{2+}}}
+ \[
+ c_{Pb^{2+}} = \frac{\num{0,828}}{\num{331,2} \cdot \num{225,00}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Analytická koncentrace EDTA}
+ \[
+ c_{EDTA} = c_{EDTA,0} \cdot \frac{V_{EDTA}}{V_{celk}} = \num{0,02} \cdot \frac{\num{0,125}}{\num{0,225}} = \num{1,111e-2}\:[\mpdm]
+ \]
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{[Pb^{2+}]}}
+ \infloattext{
+ Výpočet je naprosto identický s výpočtem předchozím, opět se vychází z předpokladu rovnosti \ilm{[Pb^{2+}] = [Y]} a že koncentrace komplexu je rovná koncentraci ligandu.
+ }
+
+ \begin{align*}
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{[PbY^-]}{\beta(PbY^-)}} \\
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\frac{\num{1,111e-2}}{10^{18}}} \\
+ [Pb^{2+}] = \sqrt{\num{1,111e-20}} \\
+ [Pb^{2+}] = \num{1,054e-10}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsubsection{Příklad \uv{C}}
+ \paragraph{Zadání}
+ \num{1,03e-3} \si{\mol} \ilm{Mg(SO_4)} (M = \num{120,3}~\gpm) bylo smíseno s \num{1,00e-3} \si{\mol} EDTA. \\
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{\log \beta(MgY^-)} && \num{8,6}
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Příklad z kategorie WTF. Není zadán celkový objem roztoku, tudíž spočítat \emph{koncentraci} \ilm{Mg^{2+}} není možné. Nicméně částečně řešitelný příklad je. Při výpočtu se vychází z faktu, že nadbytek kovu potlačí disociaci komplexu. Látkové množství nezakomplexovaného \ilm{Mg^{2+}} se spočítá velmi jednoduše. Esenciálním krokem je ignorovat nadbytečné informace v zadání (M a \ilm{\beta}).
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Látkové množství \ilm{Mg^{2+}}}
+ \begin{align*}
+ [Mg^{2+}] &= c_{Mg^{2+}} - [MgY^-] \\
+ [MgY^-] &\approx c_L \\
+ [Mg^{2+}] &= c_{Mg^{2+}} - c_L \\
+ [Mg^{2+}] &= \num{1,030e-3} - \num{1,000e-3} \\
+ [Mg^{2+}] &= \num{3,000e-5}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ Uvedený výsledek \ilm{[Mg^{2+}] = \num{2e-4}\:\mpdm} by byl pravdivý, kdyby byl celkový objem roztoku \num{150,00}~\mL.
+ }
+
+ \subsection{Výpočet podmíněné disociační konstanty}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte hodnotu podmíněné disociační konstanty chelátu \ilm{Ni^{II}-EDTA} v \num{0,1}~\mpdm amoniakálním pufru o pH = \num{9,35}.
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Příklad je jednodušší, než se vám zadaní snaží vsugerovat. Hodnotu podmíněné disociační konstanty je možné určit takto
+
+ \FloatJail{
+ \begin{theorem}
+ \caption{Podmíněná disociační konstanta}
+ \rmm{
+ \beta^{'}(ML) = \frac{\beta(ML)}{\alpha(M) \alpha(L)}
+ }
+ \begin{tabular}{lc>{\raggedleft\arraybackslash}p{5cm}}
+ \ilm{\beta(ML)} &-& Disociační konstanta komplexu ML \\
+ \ilm{\alpha(M)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu \\
+ \ilm{\alpha(L)} &-& Koeficient vedlejší reakce kovu
+ \end{tabular}
+ \end{theorem}
+ }
+
+ Koeficienty vedlejších reakcí je možné vypočítat ze znalosti disociační konstanty příslušného vznikajícího komplexu a koncentrace reaktantů, v tomto případě by šlo o koncentrace \ilm{NH_3} a \ilm{H_3O^+} - viz přednáška. Protože v zadání jsou uvedeny přímo koeficienty vedlejších reakcí, smrskne se výpočet na toto
+
+ \FloatJail{
+ \begin{calculation}
+ \caption{Podmíněná konstanta stability}
+ \begin{align*}
+ \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \frac{\beta(Ni^{II}-EDTA)}{\alpha(EDTA(H))\alpha(Ni(NH_3))} \\
+ \log \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= \num{18,6} - (\num{1,0} + \num{4,2}) \\
+ \beta^{'}(Ni^{II}-EDTA) &= 10^{\num{13,4}}
+ \end{align*}
+
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Výpočet koncentrací všech přítomných forem komplexu}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte koncentraci všech přítomných chlorokomplexů kadmia v roztoku obsahujícím \num{1,00}~\mpdm kyseliny chlorovodíkové a \num{0,01}~\mpdm dusičnanu kademnatého. \\
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{\log K_1} && \num{1,32} \\
+ \ilm{\log K_2} && \num{0,9} \\
+ \ilm{\log K_3} && \num{0,09} \\
+ \ilm{\log K_4} && \num{-0,45} \\
+ \end{tabular}
+
+ \paragraph{Výpočet}
+ Pro úspěšné vyřešení příkladu je třeba vést v patrnosti pár věcí. Zadané konstanty stability jsou \emph{konsekutivní}, platí pro ně následující
+
+ \FloatJail{
+ \begin{theorem}
+ \caption{konsekutivní konstanta}
+ \rmm{ \beta(ML_2) = K(ML) \cdot K(ML_2) }
+ \infloattext{Nebo vyjádřeno obecněji}
+ \rmm{ \beta(ML_n) = \beta(ML_{n-1}) \cdot K(ML_n) }
+ \end{theorem}
+
+ Dál je vhodné znát tzv. \emph{bilanční vztahy} a jak se vypočítá koncentrace konkrétního komplexu v roztoku:
+ \begin{theorem}
+ \caption{Koncentrace jedné formy komplexu}
+ \rmm{ [ML_n] = \beta(ML_n) [M][L]^n }
+ \end{theorem}
+ \begin{theorem}
+ \caption{Koncentrace nezakomplexovaného kovu}
+ \rmm{ [M] = \frac{c_M}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} }
+ \end{theorem}
+
+ Nejdříve je tedy nutné spočítat koncentraci nezakomplexovaného kadmia v roztoku
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace \ilm{Cd^{2+}}}
+ \infloattext{Výpočet složitého součtu ve jmenovateli}
+ \begin{align*}
+ X &= \sum\limits^4_{i=1} \beta_i [L]^i \\
+ X &= 1\cdot K_1 + 1^2 \cdot K_1 K_2 + 1^3 \cdot K_1 K_2 K_3 + 1^4 \cdot K_1 K_2 K_3 K_4 \\
+ X &= 10^{\num{1,32}} + 10^{\num{1,32} + \num{0,9}} + 10^{\num{1,32} + \num{0,9} + \num{0,09}} + 10^{\num{1,32} + \num{1,32} + \num{0,9} + \num{0,09} - \num{0,45}} \\
+ X &= \num{20,893} + \num{165,959} + \num{204,173} + \num{72,444} \\
+ X &= \num{463,469}
+ \end{align*}
+ \infloattext{Výpočet koncentrace nezakomplexovaného \ilm{Cd^{2+}}}
+ \begin{align*}
+ [Cd^{2+}] &= \frac{c_{Cd^{2+}}}{1 + X} \\
+ [Cd^{2+}] &= \frac{\num{0,01}}{1 + \num{463,469}} \\
+ [Cd^{2+}] &= \num{2,153e-5}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Koncentrace jednotlivých forem komplexu}
+ \begin{align*}
+ [ML] &= \beta(ML)[M][L] &= \num{20,893} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,498e-4}\:[\mpdm] \\
+ [ML_2] &= \beta(ML_2)[M][L]^2 &= \num{165,959} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{3,573e-3}\:[\mpdm] \\
+ [ML_3] &= \beta(ML_3)[M][L]^3 &= \num{204,173} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{4,400e-3}\:[\mpdm] \\
+ [ML_4] &= \beta(ML_4)[M][L]^4 &= \num{77,444} \cdot \num{2,153e-5} \cdot 1 &= \num{1,560e-3}\:[\mpdm]
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ \subsection{Procentuální zastoupení dané formy komplexu v kovu}
+ \paragraph{Zadání}
+ Vypočítejte procentuální zastoupení komplexu ML a komplexu \ilm{ML_2} při koncentraci ligandu [L] = \num{1,63e-3}~\mpdm. \\
+ \begin{tabular}{lc<{=~}r}
+ \ilm{\log K_1} && \num{3,5} \\
+ \ilm{\log K_2} && \num{2,5}
+ \end{tabular}
+
+ \FloatJail{
+ \paragraph{Výpočet}
+ Postup výpočtu je extrémně podobný předchozímu příkladu. Je třeba znát, co je to konsekutivní konstanta stability a vztah pro poměrné zastoupení komplexu v roztoku \\
+ \begin{theorem}
+ \caption{Poměrné zastoupení komplexu}
+ \rmm{ \delta_j = \frac{\beta_j [L]^j}{1 + \sum\limits^n_{i=1} \beta_i [L]^i} }
+ \end{theorem}
+
+ Nejprve provedeme kalkulaci součtu ve jmenovateli stejně jako v předchozím příkladu
+ \begin{calculation}
+ \caption{Zlý dlouhý součet}
+ \begin{align*}
+ X &= \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i \\
+ X &= K_1 \cdot [L]^1 + K_1 K_2 \cdot [L]^2 \\
+ X &= 10^{\num{3,5}} \cdot \num{1,63e-3} + 10^{\num{3,5} + \num{2,5}} \cdot \num{2,657e-6} \\
+ X &= 3162,278 \cdot \num{1,63e-3} + \num{1e6} \cdot \num{2,657e-6} \\
+ X &= \num{5,155} + \num{2,657} \\
+ X &= \num{7,812}
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Zastoupení formy ML}
+ \begin{align*}
+ \delta_{ML} &= \frac{\beta(ML) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\
+ \delta_{ML} &= \frac{\num{5,155}}{1 + 7,812} \\
+ \delta_{ML} &= \num{0,585} \Rightarrow \num{58,5}\:\%
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+
+ \begin{calculation}
+ \caption{Zastoupení formy \ilm{ML_2}}
+ \begin{align*}
+ \delta_{ML_2} &= \frac{\beta(ML_2) [L]}{1 + \sum\limits^2_{i=1} \beta_i [L]^i} \\
+ \delta_{ML_2} &= \frac{\num{2,657}}{1 + 7,812} \\
+ \delta_{ML_2} &= \num{0,302} \Rightarrow \num{30,2}\:\%
+ \end{align*}
+ \end{calculation}
+ }
+
+ Nad výsledkem mírně odlišným od referenčního není třeba se znepokojovat, zaokrouhlovací nepřesnost je bestie...
+\end{document}
+{Zadání}
+ Odvoďte odpovídající všeobecnou Brønstedtovu rovnici a s jejím použitím vypočítejte pH roztoku kyseliny octové o koncentraci \num{1,0e-2} \mpdm. \\
+ \begin{tabular}{l>{=}cr}
+ \ilm{pK_a} && \num{4,75}
+ \end{tabular}
git://gitweb.devoid-pointer.net / tzach_problems.git / commitdiff